打磨細節(jié)，向“數學味”的深處漫溯
——執(zhí)教《交換律》的實踐和思考
季國棟
大凡上公開課的老師都有磨課的經歷。磨，是在大致框架上的精益求精，打磨細節(jié)自然便是主要的方式。
2009年11月，筆者受邀參加某教研活動，執(zhí)教《交換律》一課。在各種運算定律中，交換律比較簡單，學生在以前的學習過程中都有淺顯的認知基礎，只是沒有明確的概括。本節(jié)課的教學，是要將學生以前比較零散的感性認識經過整理、明晰后上升為理性認識，而如何讓學生有效地經歷這一過程是我考慮和設計的重點。
一、課前猜謎，引入課堂
二、探尋定律，形成認識
（一）加法交換律
1.創(chuàng)設情境（教材P56），提出問題并列式解答。
2.尋找相同特征的等式。
3.歸納并選擇用字母表示：a+b=b+a，這是加法交換律。
（二）乘法交換律
1.通過適當聯想，形成新的猜想：減法、乘法和除法中是否也有交換律。
2.舉例驗證猜想。
學生交流，教師適時加以補充說明。
3.得出結論：用a×b=b×a表示，叫做乘法交換律。
4.板書課題：交換律
三、應用推廣，拓展認識
1.運用交換律填空。
2.下面的等式運用交換律了嗎？請說明理由。
四、課堂總結，提煉認識
預案理清了教學的大方向，安排課前猜謎、創(chuàng)設活動情境，學生學習興趣濃厚，氣氛活躍，參與度高；組織了學生經歷“歸納”和“猜想、驗證、結論”的過程，學生的數學思維活動也有一定的機會。但更深入地琢磨，數學的意味仍顯不足。我知道，在細節(jié)上再考究些，才能向數學的更深處漫溯。
一．情境，有情趣重要，有理趣也很重要
一個新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分，甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上！——英國數學家阿蒂亞爵士
起初預案中課前與學生交流采用“猜數學用語”，旨在激趣，營造氛圍，為新授開個好頭。內容是：垂釣（等于），剃頭（減法或除法），判刑（乘法），從嚴判刑（加法）。試教中學生積極性的確很高，但僅此而已，似乎總覺得有點遺憾。
在數的不同運算中，交換數的位置，有些結果不變，有些結果會發(fā)生變化；有趣的是，在生活中就有這樣的類似情況，交換兩個動作，結果有的改變，有的沒有改變。于是，改變原來的預設，我和學生玩起“喊口令”的游戲。
師：第一個動作是“向前走2步”，第二個動作是“向前走1步”，和起初的位置相比，結果怎樣？
生（行動后）：一共向前走了3步。
師：現在回到原處，把這兩個動作交換一下，先是——
生（邊說邊走）：向前走1步。
師：然后呢？
生：向前走2步。
師：結果——
生：還是向前走了3步，位置沒有改變。
師：改變兩個動作的先后位置，結果不變。再來兩個口令，第一個動作是“向前走3步”，第二個動作是“向后轉”。然后改變兩個口令先后位置再走一次，你們發(fā)現什么？
生（行動后）：這兩個口令交換后最后站的位置不一樣了。
師：好，今天的數學課我們著重來研究變化中的不變。
教育家夸美紐斯說：“提供一種既令人愉快又有用的東西，當學生們思想經過這樣的準備之后，他們就會以極大的注意力去學習。”這份“準備”不僅是在情感和興趣上的，如果“準備”中還蘊含所教內容的深層次聯系，為后面的新課教學埋下伏筆，那就有了理性的意味。小游戲讓孩子們在變化中體會結果的變與不變，而概括交換律，是在變化中尋找不變的規(guī)律，因此，小游戲雖然耗時不多，但卻利于孩子們循著游戲中淺白的理，向著數學的理性認識邁進，精致化的生活經驗無疑更有利于數學理性知識的生成。
二．知識，探究感悟重要，融會貫通也很重要
……按照我的觀點，數學知識是一個不可分割的整體，是一個有機體，它的生命力取決于其各個部分之間的關系?！?span>20世紀最偉大的數學家大衛(wèi)·希爾伯特
在探尋加法交換律時，根據教材安排，結合學生體育活動情境，來列式解決“跳繩的有多少人？”，而后得出關于交換律特征的實例“28+17=17+28”。在情境中思辨數量關系，得出實例，理解為什么這樣的算式會相等，然后請學生再舉例，最后進行歸納，數學氣息也是很足。
“數學味是數學和兒童間達成的和諧狀態(tài)”，就數學視角來說，讓學生充分經歷交換律的舉例歸納過程應是不可或缺的安排，而就兒童來說，任何數學的學習最終都應達到理解程度——新學的知識和已有的舊知間實現融會貫通。只有這樣的知識結構，才能生長出新知識，才具有發(fā)展的可能性。因此，在探究完成后按慣例安排“應用推廣，拓展認識”之前，增加“聯系舊知，貫通認識”環(huán)節(jié)，將教學的觸角真切地觸及孩子們已有的認知結構，提高他們的數學理解程度。
師：其實，加法交換律和乘法交換律都是我們的老朋友了，想一想，什么時候曾經用過它?（課件呈現）
圖一 圖二
圖三
生1：看一幅圖寫兩個加法算式。
生2：一句乘法口訣可以計算兩道乘法算式。
生3：加法驗算時用過。
師：有何感想？
生1：數學知識是有聯系的。
生2：加法可以用交換兩個加數的位置來驗算，乘法也可以。
回顧已學三年中對加法交換律和乘法交換律的接觸，這些尤為熟悉、簡單、表淺的數學知識成了極好的素材，是對知識的回顧，也是對認識的補充，更是新舊知識的一次有效貫通。
知識的融會貫通，不僅僅在于引導學生自我反思調整已有的認知結構，還在于在運用中設置新的沖突，促進認知的觸角不斷拓展。
在明了數學知識“從何而來”之后，也要適時點出又將“走向何處”。當然，這種處理不必重筆濃彩，只要點到為止。由此，不同于初次試教：一是在驗證減法和除法是否有交換律時，說明被減數小于減數要到中學才學，被除數小于除數到五年級也可以計算；二是課中還實現了對交換律的推廣和應用的提示：
2.下面的等式運用交換律了嗎？請說明理由。
（1）82+0=0+82 （由“0”的特殊聯想到分數和小數。）
（2）75×8=8×75
（3）16×4=8×8
（4）48+73=37+84
3.脫式計算
60+58+40
60+40+58
（學生分組比賽，由比賽不公平想到：多個加數中也可以運用加法交換律來實現簡便計算。）
三．過程，充分經歷重要，回顧品味也很重要
數學方法乃是數學的規(guī)律與本質，只有完全地掌握了數學方法的人，才能成為真正的數學家——法國數學家努瓦利斯
知識的學習不是簡單的“搭積木”的過程，而是一個生態(tài)式“孕育”的過程。因此，在起初的課堂中，探尋加法交換律時，讓學生舉出四、五個實例之后便進行不完全歸納，似乎也有觀察、比較和提煉，也有引領學生經歷數學知識產生的過程。但抽象概括是教師提出的要求，終究是種遺憾。這一過程無疑要厚實，而且抽象概括更應該是孩子們主動的生命要求。
師：認真觀察大家寫的這些等式，雖然各不相同，但是都有一個共同的規(guī)律是什么呢？
生：把相加的數交換之后，他們的結果相等。
師：交換了什么？在加法中的結果可以說成——和，誰來再說一下？
生：交換加數的位置，它們的和不變。
師：說得真好。兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變。像具有這樣規(guī)律的等式你們還能寫嗎？能寫出多少個？
生（很自信）：能寫，可以寫無數個。
師：看來我們這輩子都無法寫完，那怎么辦？
生（有點興奮）：用省略號表示。
師：是個不錯的辦法。（板書：……）雖然可以表示出符合這一規(guī)律的等式有無數個，但卻看不出是什么規(guī)律。有更好的辦法嗎？想一想，也可以商量商量。
學生思考后討論。
生：我用a+b=b+a表示。
師：說說你的想法。
生：用a表示加數，b也表示加數，交換之后還是結果相等。
師：如此好的辦法，真不簡單，掌聲送給你。
學生鼓掌。
師：這位同學用字母來表示的，還有其他辦法嗎？
生：□+△=△+□。正方形表示第一個加數，三角形表示第二個加數，交換加數的位置，和不變。
生：我+們=們+我。意思和他們說的一樣。
師：辦法真多，還可以用圖形、漢字來表示，不管何種方法都概括了這一規(guī)律。你們更欣賞哪種辦法？
生：a+b=b+a。因為簡潔，容易記住。
學生都有同感。
探尋數學知識是需要研究方法的。課堂中讓學生經歷“歸納” 以及“猜想、驗證、結論”的不同過程，感悟數學研究的一般方法，雖已凸顯出數學研究的“味道”，但學生在厚實的經歷中是否能準確認識到這是數學研究的方法，依然值得拷問。因此，在得出“加法交換律”與“乘法交換律”之后，增設回顧兩者研究方法有什么不一樣。通過對比增加感知的強度，讓學生再一次充分、真切、鮮活、貼近感受“歸納”以及“猜想、驗證、結論”兩種數學研究的一般方法。
師：對照板書，回顧剛才我們在探尋加法交換律和乘法交換律的過程有什么不一樣嗎？小組內討論交流。
生1：加法交換律是舉了許多的例子。
生2：從寫不完的例子中找到了規(guī)律，然后表示出這個規(guī)律。
師：從許多實例中概括歸納出結論。那乘法交換律呢？
生：乘法交換律是通過提出猜想，然后經過驗證得到的。
師：這兩種不同的方法都是我們研究數學的一般方法。
數學課要有“數學味”，就是要展示數學本質的一面，讓學生經歷觀察、分析、猜測、實驗、判斷、調整、優(yōu)化等一系列數學思維活動，讓隱含于一切教學內容背后的數學思考、數學觀念和數學內涵充分激活，為學生所觸及、所分享，成為數學文化的現實力量。然而我們的教學往往只注重讓學生親身經歷，卻忽視了經歷過程是為了獲得準確的體驗和認識。因為有些人經歷了，也只是過了一遍而已，并不能從中體會到什么；即使有體會，可能也不是經歷所要表達的準確意旨；所以，在引導學生親歷知識產生過程之后，應該給予必要的提煉、概括，濃郁醇厚的“數學味”就是厚實經歷、敞亮體驗、點明認識、凸顯內涵。
磨課，在看似熟悉而又與眾不同的細節(jié)處理上，往數學的本質方面，往精細的數學化過程方面，往兒童的數學理解方面，往孩子們的數學素養(yǎng)養(yǎng)成方面，多考量一些，組織得更細微一些，數學的意味便自然更敞亮一些。
本文發(fā)表于《江蘇教育》