讓學(xué)生深透理解數(shù)學(xué)概念
——關(guān)于“體積與容積”的教學(xué)建議
江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué) 季國棟
數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念不完全等同于數(shù)學(xué)科學(xué)的概念，沒那么精確，也沒那么嚴(yán)謹(jǐn)；但是為了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展，教學(xué)中仍需引導(dǎo)學(xué)生深透理解數(shù)學(xué)概念。
一、深透理解，突破生活意義
由于兒童心理年齡規(guī)律所限，在小學(xué)階段中的數(shù)學(xué)概念往往借用生活詞語來表達(dá)和交流——而且是與日常生活無異的詞語形式。比如，生活中的“大小”可以理解為有的大些有的小些，而體積意義中的“大小”指物體（立體圖形）定了，它的體積就能用單位進(jìn)行量化，而且是運(yùn)動(dòng)不變、確定的，所以可以測量、描述和比較。
然而，許多教師在教學(xué)“體積”時(shí)往往采用烏鴉喝水的故事，來說明烏鴉放進(jìn)去的石子是占據(jù)空間的，進(jìn)而將教學(xué)重點(diǎn)放在物體所占空間大小的比較上，引導(dǎo)學(xué)生理解正因?yàn)槲矬w所占空間有的大些有的小些，所以物體所占空間的大小就是物體的體積。顯然。對(duì)于“大小”一詞的理解僅僅停留在生活意義上，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵體現(xiàn)得不夠充分。為了區(qū)分關(guān)鍵詞語所表達(dá)的數(shù)學(xué)意義和生活意義的不同，讓學(xué)生深刻透徹理解體積概念，教學(xué)可以分兩類物體從三個(gè)層次展開。兩類物體就是規(guī)則物體和不規(guī)則物體；三個(gè)層次依次是讓學(xué)生感知物體都占有各自一定的空間，感知所占空間是有大小的，所占空間的大小是可以判斷的。
我們眼中所見更多的是不規(guī)則的物體，因此從不規(guī)則物體入手。烏鴉喝水時(shí)，水位升高說明小小的石子是占有一些空間的，請(qǐng)學(xué)生用手比劃石子所占空間，強(qiáng)調(diào)采用圍攏成一定空間的包含式比劃手勢，這手勢表明的意思是立體的；再讓學(xué)生用手勢比劃書本、課桌等物體所占的空間。通過列舉多個(gè)例子，采用手勢比劃，可以讓學(xué)生清晰地感知到不規(guī)則物體都是占有一些空間的，而且占有各自獨(dú)特的、一定的空間，是確定不變，也是有大有小的。進(jìn)而對(duì)這些物體所占空間的大小進(jìn)行比較，如果無法直接用眼睛看出來，就需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，這也是教學(xué)中常用的。
圖1 圖2
至于規(guī)則物體，我們不僅要用眼睛看，有時(shí)還要學(xué)會(huì)數(shù)。如比較圖1和圖2誰占的空間大？圖1是由8個(gè)小正方體堆成的，圖2是由10個(gè)小正方體堆成的，因此，圖2占的空間比圖1大。此外，規(guī)則物體中還有不能直接數(shù)出所占空間大小的情形。如圖3，兩疊不一樣的長方體紙，甲乙兩疊紙誰占的空間大呢？引導(dǎo)學(xué)生，在這樣的情況下需要把它們分割成大小相等的小立體（圖4），再數(shù)出各有多少個(gè)，來比較出誰占的空間大。這樣，不僅讓學(xué)生體會(huì)到規(guī)則物體同不規(guī)則物體一樣，也占有一定的空間，所占空間也是有大小，是可以比較的；而且學(xué)生通過經(jīng)歷把規(guī)則物體分割成小立體的過程，為學(xué)習(xí)體積單位埋下伏筆。
圖3 圖4
在學(xué)生經(jīng)歷如上豐富感知之后，再提煉出體積的概念，如此有意識(shí)地把“大小”一詞回歸數(shù)學(xué)科學(xué)的本體，考究這些關(guān)鍵詞語的數(shù)學(xué)意義，既充分利用了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又超越了經(jīng)驗(yàn)層面提升為初步理性的認(rèn)識(shí)，教學(xué)就完全有可能達(dá)到一種完美。
二、深透理解，避免認(rèn)識(shí)偏差
盡管小學(xué)階段的概念已經(jīng)比較貼近兒童，但是概念中的有些詞語還是比較抽象，難以理解，比如“容器所能容納物體的體積就是這個(gè)容器的容積”中的“所能容納”，便是如此。
通常教師在盒子里裝滿細(xì)沙，引導(dǎo)學(xué)生觀察，表明盒子所能容納細(xì)沙的體積，就是盒子的容積。隨后提出問題，讓學(xué)生回答還有什么物體也有容積。學(xué)生分別舉例：水桶里盛滿水，這些水的體積就是水桶的容積；飲料瓶里裝滿飲料，飲料的體積就是飲料瓶的容積；茶葉桶所能容納茶葉的體積就是茶葉桶的容積……在此基礎(chǔ)上，教師概括出像水桶、瓶子、茶葉桶等所能容納的物體的體積，叫做它們的容積。
顯然，如此教學(xué)僅僅只是容器與所裝之物的變換，并不是容積概念的本質(zhì)反映，而對(duì)于“所能容納”的理解，教學(xué)中更是采用回避的態(tài)度，學(xué)生對(duì)此很容易產(chǎn)生誤解，認(rèn)為容器所裝物體的全部體積，即便超出，也是該容器的容積，也會(huì)認(rèn)為只有裝了物體的容器才有容積，沒裝物體的容器就沒有容積等等。
圖5
為了讓學(xué)生準(zhǔn)確并深刻理解“所能容納”，避免產(chǎn)生偏差的認(rèn)識(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤的理解，我們可以采用漸變的方式。在相同的杯子里面分別裝入不同量的沙子（圖5），沙子的量在杯中呈現(xiàn)出由無到有，由少及多的漸變狀態(tài)。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并比較這種狀態(tài)，提出問題。哪個(gè)杯中的沙子體積是杯子的容積？這4個(gè)相同的杯子容積相等嗎？由此，學(xué)生可以在真切感受中進(jìn)行比較，在比較中產(chǎn)生認(rèn)識(shí)的沖突，在沖突中逐漸達(dá)成平衡和一致。從而準(zhǔn)確理解“所能容納”指的是杯中的沙子正好裝滿，沒有縫隙，也沒有超出；而且，還能很直觀地感悟到杯子里即使沒有裝沙子，也是有容積的；杯子里裝的沙子在漸漸地變化，而杯子的容積沒有改變；相同的杯子，容積是相等的。因此，雖然面對(duì)小學(xué)生，即使概念教學(xué)中遇到比較抽象的詞語，也不能采取回避的態(tài)度，應(yīng)該選用合適巧妙的方法，引導(dǎo)學(xué)生深透理解概念的意思。
三、深透理解，關(guān)照后續(xù)學(xué)習(xí)
教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)立足于學(xué)生學(xué)習(xí)基點(diǎn)，應(yīng)該把握學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑之處和所需之處。在理解體積和容積概念的基礎(chǔ)上，學(xué)生還需要知道兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別，重在明晰以下兩種情況：
一是同體積的物體容積不一定相同。呈現(xiàn)相同的兩個(gè)盒子（圖6），并適時(shí)提問“這兩個(gè)盒子的體積一樣嗎？”在學(xué)生得出體積相同之后，進(jìn)一步追問“它們的容積是否也相同？”有的學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)體積相同的盒子容積也一樣；有的學(xué)生認(rèn)為如果這兩個(gè)盒子里面構(gòu)造一樣，它們的容積就相同，如果構(gòu)造不一樣，容積也不同。雖然大部分學(xué)生贊同后者，但是對(duì)于盒子里面的不同構(gòu)造，有些學(xué)生是難以想象的。教師可以打開這兩個(gè)盒子（圖7），呈現(xiàn)盒子內(nèi)的不同構(gòu)造，讓學(xué)生真切發(fā)現(xiàn)這種情況下的容積是不相等的。這樣，學(xué)生可以明白容器容積的大小不能只看外表，體積相同的兩個(gè)物體容積不一定相同。
圖6 圖7
二是同一個(gè)物體的體積大于容積。從學(xué)生容易接受的角度，應(yīng)該選擇生活中常見的容器；從學(xué)生容易理解體積與容積相互區(qū)別的角度，應(yīng)該選擇的容器在這兩方面的差異度越大越好，也就是容器的厚度看上去很明顯?？梢杂谜n件呈現(xiàn)蓋子合攏的電飯煲，并閃爍整個(gè)電飯煲來表明這是電飯煲的體積，體積是從外面測量的；然后打開電飯煲（圖8），并且閃爍里面的空間，表明這是電飯煲的容積，容積是從里面測量的。學(xué)生很容易從中明白，同個(gè)物體的體積要大于它的容積。如果教學(xué)到此為止，還是有點(diǎn)遺憾的。原因在于：學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐體積時(shí)，教學(xué)中都是采用容積來確定體積的。師生往往將圓錐體容器裝滿水，然后倒入和它等底等高圓柱體容器，三次基本倒?jié)M，得出圓錐體體積等于和它等底等高圓柱體體積的三分之一。然而，在這個(gè)過程中，很多學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生困惑：“為什么容積就等于體積？”為了避免學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生這樣的困 圖8
惑，可以利用課件，將電飯煲的厚度逐漸變小。在每一次變化之后，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，發(fā)現(xiàn)電飯煲的容積與體積更接近了一些，差距變小了。在電飯煲的厚度由厚變薄的同時(shí)，學(xué)生在慢慢感受著極限思想，逐漸想象到“零厚度”，此時(shí)的容積就等于體積。如此教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生深刻理解體積和容積之間的聯(lián)系和區(qū)別，同時(shí)也關(guān)照了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，為學(xué)習(xí)圓錐體積做好鋪墊，幫助學(xué)生順暢理解：在一定的狀況下，可以忽略有些容器壁的厚度，容積就等于體積。
本文發(fā)表于《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》