從有限到無限 從量變到質(zhì)變
——求解圓面積的方法歷史演變
陳金飛
“圓的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中非常重要的課程內(nèi)容。它是平面圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量中，由直邊圖形變?yōu)榍€圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)思想從“有限”進(jìn)入“無限”的一次飛躍。自古以來，在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)期內(nèi)，研究圓的面積是人們理性追求的一個(gè)巔峰。“化圓為方”連同“倍立方”、“三等分任意角”成為古希臘人幾何尺規(guī)作圖三大難題。直到19世紀(jì)數(shù)學(xué)界研究發(fā)現(xiàn)，僅憑尺規(guī)作圖是無解的，但是樸素的化圓為方這一化曲為直的思想，和古希臘數(shù)學(xué)家的窮竭法，為后來人們研究解決圓的面積起到了決定性作用。同時(shí)，無限分割、化曲為直的思想，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有不可估量的重大意義。
美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家M·克萊因認(rèn)為，人的認(rèn)識(shí)過程與人類認(rèn)識(shí)的過程是基本一致的，歷史上數(shù)學(xué)家曾經(jīng)遇到過的困難，課堂上學(xué)生同樣會(huì)遇到。今天學(xué)生理解上的困惑，不過是歷史上數(shù)學(xué)思想困惑的邏輯“重演”。 [1]歷史上數(shù)學(xué)思想方法的突破點(diǎn)是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的重大轉(zhuǎn)折，亦是今天學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。因而，了解求解圓面積方法的歷史演變過程，對(duì)于學(xué)生從數(shù)學(xué)史的角度，找尋目前正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，有一定的借鑒與探源作用。
一、古代的求解方法：通過有限分割逼近圓面積，苦苦追尋
在過去漫長(zhǎng)的年代里，人們?yōu)榱搜芯亢徒鉀Q求圓的面積這一問題，花費(fèi)了很大精力。在古希臘，人們最先發(fā)現(xiàn)正方形面積計(jì)算公式。于是有人想到，既然會(huì)求正方形的面積，那么只要作出一個(gè)正方形，使它的面積恰好等于圓的面積，就能實(shí)現(xiàn)“化圓為方”。公元前5世紀(jì)，著名哲學(xué)家阿那克薩哥拉在為追求真理而放棄財(cái)產(chǎn)，身陷囹圄，在鐵窗下依然研究“化圓為方”問題，可見這個(gè)問題的魅力。著名辯士、詩(shī)人安提豐（Antiphon）采用圓內(nèi)接正多邊形解決“化圓為方”問題（見圖1）。從正六邊形出發(fā)，不斷倍增邊數(shù)，安提豐認(rèn)為，當(dāng)邊數(shù)無限多時(shí)，圓就化成了方，即求出了圓面積。雖然這只是空中樓閣，但安提豐的逼近思想為阿基米德所采用，阿基米德分別用邊數(shù)不斷增多的圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形逼近圓的周長(zhǎng)（見圖2），給出了圓面積計(jì)算公式：圓的面積等于以圓周長(zhǎng)為底，半徑為高的三角形面積。
這相當(dāng)于中國(guó)漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的：“半圓半徑相乘，得積步?！奔磮A面積等于圓周長(zhǎng)的一半乘半徑。我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，得到一個(gè)正6×2n邊形序列（n=0、1、2……），所謂“割之彌細(xì)，所失彌少”。他在圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，即把圓周分割成6等份。這時(shí)若以六邊形的面積S6來代替圓的面積S，則損失6個(gè)小弓形的面積δ6=S- S6，如圖3。再作圓的內(nèi)接正十二邊形，這時(shí)，若以S12代替S,則要損失12個(gè)小弓形的面積δ12=S- S12，由圖可知，損失的要比前者小得多。如此分割下去，損失的δ3×2n=S- S3×2n 是隨著分割的不斷細(xì)密而無限減小[2] （見圖3）。
古印度的數(shù)學(xué)家另辟蹊徑，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，把這些小瓣對(duì)接成一個(gè)近似平行四邊形。再通過分割平移將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，用近似長(zhǎng)方形的面積代替圓的面積[3]（見圖4）。
數(shù)學(xué)家們苦苦探索，卻總也找不到一條途徑能跨越直邊形與曲邊形之間的間隙，同時(shí)又滿足他們對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的追求。在這些數(shù)學(xué)家的思想中，永遠(yuǎn)不能超越清晰的直覺理解的界限，總認(rèn)為有一個(gè)量剩下來（雖然它可以變得任意?。?，這一直覺使得曲線與直線之間永遠(yuǎn)保持著不可逾越的差異。[4]
二、近代的求解方法：通過無限分割實(shí)現(xiàn)化曲為直，獲得突破
到了17世紀(jì)，德國(guó)天文學(xué)家開普勒獨(dú)辟蹊徑，拋棄了經(jīng)典的阿基米德算法，引入無窮小概念，借助一種模糊的“連續(xù)性橋梁”——多邊形和圓之間、有限與無限之間、無窮小面積與直線之間沒有顯著差別，在數(shù)學(xué)史上，首次開創(chuàng)了圓面積計(jì)算公式推導(dǎo)的新方法。在他第二次婚姻的婚禮上，在思考酒桶體積算法時(shí)，受切西瓜的啟發(fā)，他把圓分割成許多小扇形，他認(rèn)為只有把圓分割成無窮多個(gè)小扇形，這時(shí)每個(gè)小扇形的面積就變成了對(duì)應(yīng)小三角形的面積，于是圓的面積就等于這無窮多個(gè)小三角形面積之和，將這些小三角形等積變形，最后，構(gòu)成了一個(gè)大直角三角形，三角形的底就是圓的周長(zhǎng)，三角形的高就是圓的半徑，從而得出圓的面積計(jì)算公式S =cr=πr2（見圖5）。
開普勒無限分割、化曲為直的方法，跨越了曲與直的直覺理解界限，它的意義無法估量?；鸀橹钡玫搅水?dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們的高度評(píng)價(jià)，但也遭到了一些人的質(zhì)疑。開普勒分割出來的無窮多個(gè)小扇形，它的面積是否為零？如果為零，半徑OA和半徑OB就會(huì)重合，小扇形OAB就不存在了；如果不為零，小扇形OAB就有弧度，把它看作與三角形OAB面積相等那就不對(duì)了。意大利物理學(xué)家卡瓦利里仔細(xì)研究了開普勒推導(dǎo)圓面積的方法，同樣感到很困惑：把圓無窮分割，那么分割到什么時(shí)候才是盡頭？只要是圖形，那就還可以繼續(xù)分割。一天，卡瓦利里的目光落在自己的衣服上，突然茅塞頓開。如果把布看作一個(gè)長(zhǎng)方形，那將布不斷分拆，拆到棉線就為止了。圓不斷分割，分到一根根線段就不能再分了。于是，他把不能再細(xì)分的東西叫做“不可分量”，卡瓦利里把點(diǎn)、線、面分別看成是直線、平面、立體的不可分量，把直線看作點(diǎn)的總和，把平面看成是直線的總和，把立體看成是平面的總和。[5]
開普勒、卡瓦利里改進(jìn)了古代數(shù)學(xué)家的窮竭法，與無窮小量的觀念結(jié)合起來，將“窮竭”這個(gè)詞用來指自己的新方法，這個(gè)新方法直接導(dǎo)致了微積分的產(chǎn)生，并且真正地把量“窮竭”了。
三、現(xiàn)代的求解方法：利用定積分的方法推導(dǎo)圓的面積公式，以曲代直
古代數(shù)學(xué)家試圖在一個(gè)圓中循次內(nèi)接邊數(shù)越來越多的多邊形，希望最后“窮竭”圓的面積，找到一個(gè)與圓的面積相等的多邊形，雖然沒有成功，不過同樣的過程卻被現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吸收，以此作為基礎(chǔ)，把圓的面積定義為近似多邊形的面積A1，A2，A3，…，An,…組成的無窮數(shù)列之和的極限A。例如，想要計(jì)算橢圓上的一段弧與經(jīng)過這段弧兩個(gè)端點(diǎn)的直線所圍成圖形的面積，只要把這個(gè)圖形分解成n個(gè)寬度相等的長(zhǎng)方形，并把這些長(zhǎng)方形的面積相加，就得到了這個(gè)圖形的近似的面積[6]（見圖6）。
很明顯，分解出的長(zhǎng)方形數(shù)量越多，這些長(zhǎng)方形面積的和就越接近真實(shí)的數(shù)值。當(dāng)被分解成的長(zhǎng)方形數(shù)量逼近無限的時(shí)候，把這些長(zhǎng)方形的面積加起來就得到了圖形的實(shí)際面積。由于存在感覺界限，從多邊形面積數(shù)列轉(zhuǎn)變到圓的有限面積的過程無法“直觀化”，為了將極限過程從面積概念固有的幾何知覺中解放出來，必須把無限分割從感官經(jīng)驗(yàn)的王國(guó)中排除出來，給這個(gè)概念下一個(gè)形式化的定義，以確保這個(gè)極限值的有效性。因而現(xiàn)在用來表示定積分的記法，是一個(gè)無窮數(shù)列各項(xiàng)和的極限，而不是一個(gè)無窮數(shù)列的極限。
首先在直角坐標(biāo)中作出半徑為r且圓心在原點(diǎn)的圓（見圖7），此時(shí)圓的方程為x2+y2=r2，對(duì)于第一第二象限的半圓y=，與x軸的交點(diǎn)為（﹣r,0）和（r,0），在
[﹣r,r]上取一點(diǎn)x,加上一個(gè)無窮小量dx，在x和x+dx處分別作x軸的垂線，與圓相交后，就形成了一條邊為曲線的近似矩形。當(dāng)dx無限小時(shí)就成為一個(gè)矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為，寬為dx，面積為dx。由于截取了一小部分，這個(gè)矩形的面積極小，把無數(shù)個(gè)這樣的矩形的面積累加起來，當(dāng)dx趨于0時(shí)，這無數(shù)個(gè)小矩形的面積之和的極限就是半圓的面積。
用定積分求，令x=rsint，則dx=rcostdt。當(dāng)x=﹣r時(shí)，t=﹣，當(dāng)x=r時(shí)，t=。
原式====
==。
半圓的面積等于πr2，所以圓的面積為πr2。利用微積分的方法，一個(gè)困擾人們幾千年漫長(zhǎng)歷史的“化圓為方”問題，輕而易舉得到了解決，難怪萊布尼茨驚嘆：“熟悉微積分的人能夠如此魔術(shù)般地處理一些問題，曾使其他高明的學(xué)者百思不得其解！”[7]
參考文獻(xiàn)：
[1]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第1冊(cè)）[M].朱學(xué)賢，等，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：2-3.
[2] 劉英奎，張小樂.古代數(shù)學(xué)[M].北京：大眾文藝出版社，2004：100-108.
[3]趙銳.基于數(shù)學(xué)史的“圓的面積”教學(xué)案例設(shè)計(jì)【J】.湖南教育，2010（8）.39-42.
[4]卡爾·B·波耶.微積分概念發(fā)展史[M].康生，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2011：31-34.
[5]梁宗巨，王青建，孫宏安.世界數(shù)學(xué)通史（下冊(cè)·二）[M].遼寧：遼寧教育出版社，2000：637-638.
[6]Mario Livio.數(shù)學(xué)沉思錄[M].黃征，譯.北京：人民郵電出版社，2010:64.
[7]李文林.數(shù)學(xué)史概論【M】.北京：高等教育出版社，2002：171
﹡本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“數(shù)學(xué)史視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例研究”（批準(zhǔn)號(hào)：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。
作者簡(jiǎn)介：陳金飛，1974年生，男，江蘇啟東人，江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)副校長(zhǎng)，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。
【作者單位】江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)，聯(lián)系地址：江蘇省啟東市人民中路720號(hào)（226200），聯(lián)系電話：15962731800，E-mail:cjxxcjf@163.com。