關于“數(shù)學規(guī)定”的理性思考和教學實踐
季國棟
（江蘇省啟東實驗小學，江蘇啟東 226200 ）
摘要：理性對待數(shù)學規(guī)定，根據不同的規(guī)定內容，在教學時有所區(qū)別、有所側重，或是直接訴說，或是適切剖析，或是自主建構，或是合理借助；讓學生在數(shù)學規(guī)定的學習中，建立正確的數(shù)學觀，更好地理解、掌握、運用數(shù)學知識，在數(shù)學學習上取得優(yōu)良發(fā)展。
關鍵詞：數(shù)學規(guī)定；思考；教學
小學數(shù)學中有一類是主觀性較強的知識，是長期以來由于某種原因而人為規(guī)定或者約定俗成的，通常被稱作為“數(shù)學規(guī)定”，如規(guī)定的數(shù)學命名、數(shù)學符號、書寫格式、數(shù)學法則等。數(shù)學規(guī)定的內容在小學數(shù)學知識體系中也占有一定的份額。
關于數(shù)學規(guī)定的教學爭議頗多。有人認為，數(shù)學規(guī)定都有深刻的背景和理由，從學生認知水平的角度來看，不適合讓學生討論或探究，作出某種規(guī)定的原因，許多也難以對小學生說清楚，因此教學中應該采取快速通過，直接告訴學生就可以了。也有人認為，如果僅僅一味地、全盤地告訴學生這是一個“規(guī)定”，從學生持續(xù)發(fā)展的角度來看，這樣的教學是遠遠不夠的，孩子會誤認為數(shù)學就是權威的、書本的，只要照做就行了，會壓抑孩子的探究精神和創(chuàng)新意識。為此，許多教師在進行數(shù)學規(guī)定的教學時感到進退兩難。本文就此試著進行厘清和闡述。
一
如何看待數(shù)學規(guī)定的教學呢？伽利略在用自制的望遠鏡發(fā)現(xiàn)月球的表面存在光斑時，人們發(fā)出疑問：這光斑是月球表面具有的還是望遠鏡的鏡片上存在的。這樣的疑問在現(xiàn)在的人們看來似乎十分可笑，而人類登上月球證實了人們用這類工具觀看的事實。同樣的道理，我們不妨“登上”數(shù)學規(guī)定和數(shù)學教學，在親密接觸之后，或許能得到更好的理解。
數(shù)學并不是一種形式嚴格、思想固化的另類東西。數(shù)學發(fā)展的歷史業(yè)已充分表明，創(chuàng)建數(shù)學的基石是人的自由思想。現(xiàn)代數(shù)學的鼻祖康托說，數(shù)學的本質是自由。數(shù)學中的規(guī)定同樣也潛蘊著豐富的自由思維，我們不應只看到它的歷史規(guī)定性，更應看到其源頭都閃爍著人類的自由思維。比如，正數(shù)前面寫正號是因為生活中正數(shù)用得比負數(shù)多，規(guī)定正號能省略，就是追求更便捷；2月的天數(shù)少是因為在古羅馬執(zhí)行死刑都是在2月；厘米用字母“cm”表示是因為厘米的英文單詞是centimeter，取它的縮寫就是“cm”……數(shù)學規(guī)定和其它規(guī)定一樣，都具有必要性、合理性和最優(yōu)化。比如，為了與國際接軌，便于交流，我國才規(guī)定零是自然數(shù)；為了便于長度單位間的換算，就規(guī)定兩個相鄰的長度單位之間的進率都是十，與記數(shù)的進制相統(tǒng)一，所以1厘米=10毫米；根據合數(shù)的定義，1顯然不是合數(shù)，而根據質數(shù)的定義，則可以把1看做質數(shù)，但是為了確保“一個大于1的整數(shù)，如果不管質因數(shù)的次序，那么分解質因數(shù)的結果是唯一的?！?，我們規(guī)定1不是質數(shù)也不是合數(shù)。可見，數(shù)學規(guī)定本身不是冷峻的，而是溫情的；不是枯燥的，而是有意趣的。
數(shù)學教學的確離不開作為科學的數(shù)學，但是如果作為科學的數(shù)學必須表述成嚴格的形式邏輯演繹體系的話，那么是否意味著數(shù)學的教學內容也必須是一個嚴密的演繹體系呢？答案是否定的。有人把數(shù)學的“嚴謹性”描繪成一把雙刃劍，它既能砍去那些不合邏輯的錯誤東西，保持數(shù)學的純潔性；同時它也會砍去數(shù)學中生動活潑的思想，窒息數(shù)學的生命。數(shù)學教學要有一個橫向的透視，也要有縱向的穿透。要“前瞻后顧”，尋求數(shù)學的源與流。在教學中力求呈現(xiàn)數(shù)學動態(tài)統(tǒng)一的、有機關聯(lián)的、鮮活生動的、具有探索性的和全息性知識特征的科學與文化形象，而不是固定不變的、僵化教條的、片斷局部的、彼此分割的知識條塊和記憶庫。[1]而且，小學數(shù)學并不是純粹的科學數(shù)學，是具有現(xiàn)實數(shù)學、經驗數(shù)學和生活數(shù)學的性質，板著面孔、與枯燥寂寞相伴的數(shù)學難以走進孩子的心靈。那么，小學數(shù)學教學應根據學科特點和學生實際，既要關注學生的思維，也要兼顧學習的趣意。
對于學生來說，他們是怎樣看待學習數(shù)學規(guī)定的呢？法國作家司湯達有過這樣的經歷和感觸。當時學堂中流行的順口溜：負負得正，正負得負；無需證明，只管記住。于是，在他的筆下，就有既清晰明白而又令人同情的描繪：當我發(fā)現(xiàn)沒有人能解釋負負得正的原因時，你能想象我的感受嗎？對我來說，這個沒有解釋的難題真是夠糟的了（它既然能導致正確的結果，無疑地也應該可以解釋）。而更糟的是，有人用那些顯然對自己都不清楚的理由來對我講解。司湯達在面對用債務來解釋負數(shù)時，以幽默的筆調寫道：“一個人該怎么把10000法郎的債與500法郎的債乘在一起，好得到五百萬法郎的收入呢？”
小司湯達及其伙伴的處境正如斯坦因所說：數(shù)學怎么會教得最壞呢？因為它可以作為一套毫無興趣或用處的數(shù)的計算程序來介紹。隨著每一頁新的練習，孩子們越來越對它疏遠起來。最后，當孩子們聽到一種神諭似的宣告，“為了除以一個分數(shù)，你要上下顛倒而后相乘”，或者“負數(shù)乘負數(shù)得正數(shù)”的時候，這種疏遠就達到了極端。[2]
從作家司湯達身上，我們可以明確感受到：一是數(shù)學規(guī)定需要解釋，學生有這份期待；二是數(shù)學規(guī)定的解釋需要有理有據，并且要讓學生能夠接受。
因此，面對數(shù)學規(guī)定，我們需要理性對待，不能僅僅關注數(shù)學規(guī)定的表面，更重要的是要顯露出數(shù)學規(guī)定背后隱含的智慧?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，要讓學生感受“規(guī)定”的合理性，并在這個過程中學會數(shù)學思考，感悟理性精神。張奠宙先生也認為，對于數(shù)學規(guī)定雖然不需要證明，只要遵守，但我們可以談“規(guī)定”的合理性。我們完全可以料想到，當孩子問一個數(shù)學的規(guī)定為什么是這樣，如果一個教師能作出生動的、可以讓孩子接受的解釋，那么，數(shù)學在孩子的心中就是可以親近的。
二
作為一個高素養(yǎng)的數(shù)學教師要從數(shù)學本體性知識中完善自己的知識結構，了解數(shù)學規(guī)定的來龍去脈，明了數(shù)學規(guī)定的緣由，在數(shù)學家與教育家之間尋找中間地帶，在教材不便說或沒有說清楚的地方尋找路徑，根據不同的數(shù)學規(guī)定、不同的學生狀況，有所選擇，有所側重，智慧教學。
（一）直接訴說，體現(xiàn)數(shù)學的溫情之意
數(shù)學中的許多符號、命名、讀寫法等這類規(guī)定不需要讓學生進行探究和猜想，可以先入為主，教師用形象生動的語言直接進行解釋，化抽象為具體，幫助學生更好地認識數(shù)學中的規(guī)定，明確數(shù)學不是枯燥無味的，而是生動活潑的。
比如運算符號的規(guī)定：加號是在一橫上加上一豎，顯示“合并”、“添上”、“增加”的意思；減號是從加號里拿走一豎，表示“去掉”、“減少”的意思；乘號是和加號有關系的，將加號轉動45°成“×”，表示特殊的加即同數(shù)連加；除號先寫中間一橫表示平均分，上面、下面各一點，表示每份同樣多。[3]或許，這些規(guī)定的解釋用歷史的真實來考察，可能并非符號原創(chuàng)者最初的想法，與符號演變史實也有些許出入，但卻是基本符合符號本意的教學藝術加工，可以讓孩子們感受到數(shù)學不僅理性，而且充滿著溫情和趣意。
再如，大家熟知的“用字母表示數(shù)”中，關于字母和字母相乘、字母和數(shù)相乘的規(guī)定，就應該直截了當?shù)亟沂窘o學生，或者讓學生自行閱讀教材，或者利用童話故事向學生訴述，也不需要進行研究和猜想。不然，教學將只是熱鬧過場，毫無價值。有位教師在教學分數(shù)各部分名稱時，是這樣處理的：先引導學生觀察2/3這個分數(shù)，感覺像是一家人，然后請學生猜一猜分數(shù)2/3各部分名稱。學生說“3”是分數(shù)爸爸，“2”是分數(shù)媽媽，“—”是分數(shù)寶寶。教師提示“3”叫做分母，“2”應該叫什么呢？有的學生說是分父，有的學生說是分女。教師繼續(xù)引導“2”如果是男孩，那“2”可以叫什么？學生說“2”可以叫做分子。這時候教師才如釋重負，露出滿意的笑容。
顯然，課中猜想分數(shù)各部分的名稱是敗筆。猜想是指人對客觀規(guī)律認識的一個前奏，而分數(shù)各部分的名稱只是人為的規(guī)定，并非客觀存在的規(guī)律。把這類規(guī)定性的內容強拉硬拽地進行猜想和探討，不但毫無思維價值，浪費寶貴的教學時間，有時還會適得其反，給教學帶來負面影響。
（二）適切剖析，體現(xiàn)數(shù)學的求簡原則
數(shù)學課程的一個重要目的，是使學生通過數(shù)學學習，形成一定的數(shù)學思想和數(shù)學意識。數(shù)學規(guī)定的學習往往可以起到促進作用。數(shù)學規(guī)定的背后往往蘊涵著深刻的道理，而有些規(guī)定是可以通過適切的剖析，將蘊涵的道理呈現(xiàn)出來，讓學生從中體會到一定的數(shù)學思想或者數(shù)學意識。比如，“求簡”原則便是其中顯著體現(xiàn)的數(shù)學意識之一。
1.書寫格式中體現(xiàn)求簡
豎式計算的書寫格式是一種形式上的規(guī)定，它的確定是根據計算的實際需要，依靠相應的運算法則，即完成運算、得出結果的方法、程序或途徑，實質上也就是運算方法與程序的規(guī)定。運算法則的理論依據是“計數(shù)的位值原則”，只有相同計數(shù)單位上的數(shù)字才能直接相加減。[4]因此，許多豎式計算的書寫格式都規(guī)定為相同數(shù)位對齊，學生對此是完全可以理解的；而在小數(shù)乘法中卻規(guī)定為末位對齊，學生在不明白道理的情況下，難免會產生困惑：數(shù)學的規(guī)定可真多，而且一時一個模樣。
首都師范大學的王尚志教授說，數(shù)學要講邏輯推理，更要講道理。對數(shù)學規(guī)定的教學也就可以這樣理解：即要呈現(xiàn)為什么要有這個規(guī)定，如果沒有這個規(guī)定會發(fā)生什么。不滿足于僅僅讓學生知道是什么，還要深入地理解為什么會這樣規(guī)定。
我們不妨以小數(shù)乘小數(shù)2.14×1.2為例，通過兩種書寫格式的比較，來理解這種末位對齊書寫格式規(guī)定的合理性。
根據算理，2個0.1與4個0.01相乘，得到8個0.001，8寫在千分位上，2個0.1與1個0.1相乘，得到2個0.01，2寫在百分位上，2個0.1與2個1相乘，得到4個0.1，4寫在十分位上；再把1分別與4個0.01、1個0.1、2個1相乘，得數(shù)分別寫在對應的數(shù)位上，最后相加得到2.568（見圖1）。
如果書寫格式是末位對齊，利用小數(shù)的基本性質，是可以很快算出2.14×1.2=2.568（圖略）。
我們可以發(fā)現(xiàn)相同數(shù)位對齊和利用小數(shù)的基本性質末位對齊都是可以完成計算的，但是兩種書寫格式相比，末位對齊最整齊、最方便、最簡潔，因此小數(shù)乘法末位對齊就成了一種約定俗成。知其然并且知其所以然，經歷了上面的過程，小數(shù)乘法末位對齊的書寫格式，就不僅僅是一種人為規(guī)定，更多的是一種理性思考。小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)的書寫格式規(guī)定的道理是一樣的，不管從高位乘起還是從低位開始乘，不管是相同數(shù)位對齊還是末位對齊，都是可以完成計算的。但是，之所以有這樣的格式規(guī)定都是為了——求簡。
2.運算順序中體現(xiàn)求簡
我們教師幾乎都把運算順序看作一種純粹的規(guī)定，一種長期實踐中的約定俗成，都是簡單地告知學生“乘法和加減混合先算乘法”，至于為什么要先算乘法而不先算加減并沒有給予更多的關注。
運算順序的確是一種人為的規(guī)定，但是，這種規(guī)定并非依據生活同類實際問題的多少，更不是數(shù)學家們的主觀意向，而是根據數(shù)學運算本身的特點而確定的，它產生于人們解決問題時的一種“求簡”的本能，是人們追求簡便、快捷的本能在計算活動中的具體反映。教學混合運算時，可以提供淺顯而不復雜的材料，將運算順序的規(guī)定容納進來，充分體現(xiàn)數(shù)學的求簡原則。
大家比較熟知的蔡宏圣老師執(zhí)教的“混合運算”，為我們一線教師教學混合運算之類的計算課開拓了一個新的思路。提供如下兩個材料：
材料一：步行→自行車→汽車→火車→飛機。提問：從上海到北京旅游，你打算借助哪種交通工具？
材料二：數(shù)數(shù)→加減→乘除。提問：用數(shù)數(shù)的方法也可以解決運算的問題，比如5×3，可以5個5個地數(shù)，數(shù)3次也能得出結果是15，我們?yōu)槭裁催€要用加減和乘除呢？
上述這些情景都體現(xiàn)了高級的便捷替代低級的麻煩，它們的道理十分明白，學生完全能夠自然地接受，由此引入乘法和加減法的混合運算。
對于“1+5×3”要先算“5×3”，是因為“1+5+5+5”中的“5+5+5”是幾個相同加數(shù)相加，可以用簡便的乘法計算，“5+5+5”作為一個整體先算“5×3”；對于“20-3×4”也是同樣如此，“20-3-3-3-3”也就是“20-（3+3+3+3）”，所以也得先算“3×4”。由此可見，基于計算的簡便，人們才規(guī)定算式中有乘法和加、減法時，應先算乘法，學生由此明白了運算順序的規(guī)定是有其深層意圖的，它是不斷地用高級、簡潔的方法代替低級、繁瑣的方法的過程。
不管是運算順序的規(guī)定還是書寫格式的規(guī)定，都體現(xiàn)了數(shù)學的求簡原則。雖然這點不能自如地直接走進課堂，但通過彼此的比較、提供適切的材料，來剖析理解數(shù)學規(guī)定，數(shù)學的求簡原則是可以呈現(xiàn)給學生的。這樣的課堂，讓學生既能很好明白規(guī)定的原因，也能牢固掌握所學習的相關知識，拓寬了教學空間而未超越學生的思維域限。
（三）自主建構，體現(xiàn)數(shù)學的發(fā)展過程
數(shù)學規(guī)定的形成和發(fā)展不是一蹴而就，也不是一成不變的。甚至很多數(shù)學規(guī)定從產生到被普遍認可也不是一朝一夕就能完成的，都有一個曲折而漫長的過程。由印度人創(chuàng)造發(fā)明，阿拉伯人傳承推廣的“印度——阿拉伯數(shù)字”，用一組包括零在內的十個符號，就可以表示一切自然數(shù)，這是數(shù)學史上無與倫比的光輝成就。然而，這一成為我們司空見慣的符號，但其推廣普及僅在歐洲就耗費了數(shù)百年之久。[5]
數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，學生學習數(shù)學是一個有指導的“再創(chuàng)造”的過程。對于數(shù)學中的規(guī)定，我們必須從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的視角加以審視，必須從直接經驗對學生學習的積極作用加以考慮。因此，如果屬于兒童能夠自主建構的數(shù)學規(guī)定，我們就進行“再創(chuàng)造”方式的學習，讓學生體驗數(shù)學規(guī)定形成與發(fā)展的過程，親身經歷“重蹈人類思維發(fā)展中的那些關鍵性步子”，感受并體會數(shù)學規(guī)定的產生是自然的，從而更好地了解數(shù)學規(guī)定在數(shù)學內部需要與和諧發(fā)展中形成的思想背景與承擔的功能，達到對規(guī)定更深刻、更精確、更厚實的理解和把握。
用“數(shù)對”確定位置便是一個很好的例子?？梢?/span>呈現(xiàn)學生熟悉的生活場景——動車組站臺上用數(shù)表示對應節(jié)次車廂?？课恢茫瑢W生感受到用數(shù)確定位置既準確又簡潔。于是，讓學生帶著“準確、簡潔”的標準一路前行，自主建構數(shù)學規(guī)定?？梢韵冉嬕痪S上的規(guī)定。利用公交車站點的站牌， 讓學生通過觀察、思考、交流，引出確定位置的要素：起點、方向、順序，并在站牌上自主創(chuàng)造出數(shù)學形式的規(guī)定（見圖2）——類似數(shù)軸形態(tài)特征的橫向“整標數(shù)線”，從而學生可以直觀理解“一條線上的位置可以用單個數(shù)來確定”。 然后，再建構二維上的規(guī)定。學生在座位圖邊緣畫出與列數(shù)對應的橫向“整標數(shù)線”和與行數(shù)對應的縱向“整標數(shù)線”，構成了類似直角坐標系形態(tài)特征的“直角整標數(shù)架”（見圖3）。由于觀察角度和書寫方式的不同，由5和4兩個數(shù)得到不同的表示形式，產生歧義、引起爭論，從而 學生很自然地再次進行自主建構并完整數(shù)學規(guī)定：把表示第幾列的數(shù)寫在前面（從左往右數(shù)），把表示第幾行的數(shù)寫在后面（從前往后數(shù)），中間用逗號隔開，再用表示整體的小括號將這兩個數(shù)括起來。最后，可以利用學生熟悉并喜歡的魔方為例，讓學生試著確定魔方中任意一塊的位置，從而誘發(fā)思維、開啟智慧，延伸至自主建構三維上的規(guī)定，用三個數(shù)來確定位置。
在探尋課題學科背景、分析知識內含價值基礎上，從數(shù)學知識形成和學科思想滲透的高度下，促使學生自主建構數(shù)學規(guī)定的過程，是數(shù)學教學中不可或缺的有機組成部分，是師生共同開發(fā)教材與經歷成長的動態(tài)過程，是師生共同理解、感受、體驗、欣賞數(shù)學的重要途徑。這種經歷數(shù)學規(guī)定“再創(chuàng)造”過程而獲得的知識是那么的鮮活和牢固，因為這是學生自我建構所得，而且在這個過程中，學生不僅體會到以“點（位置）與數(shù)（數(shù)對、數(shù)組）對應”為內核的坐標思想，而且還能感受到數(shù)學原來并不高深莫測，并不來自權威和書本，也是可以自己創(chuàng)造的，體會到數(shù)學中出神入化般的創(chuàng)造性思想活動。
（四）合理借助，體現(xiàn)數(shù)學的整體聯(lián)系
數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部與整體的關系，引導學生感受數(shù)學的整體性。[6]在數(shù)學規(guī)定的教學中，如果能找到一個與兒童貼近的載體，利用合適的形式，引發(fā)兒童的趣意，不僅可以讓學生明白這樣規(guī)定是有道理的，而且借助數(shù)學規(guī)定的學習，還能打通數(shù)學知識間的聯(lián)系，體現(xiàn)出數(shù)學的整體性。這是教學相對理想的期冀。
長度單位“米”嚴格定義后，它的倍數(shù)單位十米、百米、千米和分數(shù)單位分米、厘米、毫米等都是按十進制原則規(guī)定的。因此，在“毫米和分米”的教學中，我們可以借助“臺階”來滲透“十進制”的規(guī)定，“臺階”圖形往往可以在學生心理上建立知識的意象表征，從而有利于學生對知識的回憶、理解乃至貫通。
數(shù)學規(guī)定的內容與生活中相似事物一定存在著必然聯(lián)系，可以在“規(guī)定”之前創(chuàng)設一定的情境做鋪墊，讓學生不知不覺中感受“規(guī)定”的到來，而不是強加。比如，提供詞串“小學，幼兒園，中學”和“長葉，生根，發(fā)芽”，讓學生合理地擺在臺階上（見圖4）；學生從中可以感受到生活中的事物通過一段時間的積累，就會到達更高的新的臺階。
類比推理是根據不同對象的某些方面（如特性、屬性、關系等）相同或相似，推出它們在其它方面也可能或相似的思維形式，是思維進程中由特殊到特殊的推理。在學生認識1毫米、知道1厘米等于10毫米之后，將毫米和厘米之間的關系，放到臺階上。1毫米1毫米地加長，加到10毫米就到了一個更高的臺階，產生新的單位，那就是厘米。然后，引導學生回顧認數(shù)的時候，數(shù)滿10個一就是1個十，數(shù)滿10個十就是1個百。再由計數(shù)單位推及長度單位，合情推理出達到10厘米的時候也應該有一個新的長度單位，那就是分米（見圖5）。接著，在學生認識分米、知道米和分米的關系之后，將長度單位“米”也擺放在臺階上，再由長度單位推及計數(shù)單位，10個百就是1個千。這樣一來一往，將長度單位和計數(shù)單位進行類比，融通了計數(shù)單位和長度單位都有“十進制”關系，讓學生深刻體驗數(shù)學知識間的聯(lián)系。設計臺階時，需要使每個臺階和往上相應的一段顏色相同，表示相同單位，而不同臺階的顏色各異，以此來區(qū)分不同的單位。
結構化——它讓混沌變得清澈。為了認識表示長度、面積、體積、溫度、重量、明暗等長短、大小、冷暖、程度的量，我們用結構化的思想，引入了不同單位，發(fā)明了不同的度量工具，讓我們的世界變得更明朗。[7]最后，為了契合規(guī)定，突顯結構，可以在完整長度單位和計數(shù)單位兩個臺階之后，將兩個臺階合二為一（見圖6），充分體現(xiàn)數(shù)學知識的整體關聯(lián)，讓學生留有深刻影響，或許將伴隨其一生。
“毫米和分米”的教學中，利用臺階，將數(shù)學規(guī)定的合理性通過兒童能夠理解的方式和載體，直觀化，明晰化，趣味化。這樣不僅讓學生學得趣意盎然，明了長度單位之間的關系，幫助學生更好地學習，而且還融通數(shù)學內部聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學知識的整體性。
數(shù)學教學應當明理，也就是不僅要“知其然”，還要“知其所以然”。數(shù)學規(guī)定的“所以然”往往具有歷史性、貫通性、綜合性和人文性，是前人的智慧結晶，是可以讓學生親近的。在數(shù)學規(guī)定的教學中，我們應當理性對待，處理好“科學數(shù)學”和“學科數(shù)學”的關系，辯證看待“有價值”和“無價值”；我們應當重視數(shù)學規(guī)定的“所以然”的研究，智慧教學，讓數(shù)學規(guī)定根植于學生的心田，使其應用源自于學生內在的心智。
參考文獻：
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本文發(fā)表于《課程·教材·教法》2014年第5期