“圖形的運(yùn)動”學(xué)習(xí)中的典型錯(cuò)誤及應(yīng)對策略
陳金飛
《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的“空間與圖形”改稱為“圖形與幾何”。同時(shí)，把《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中的“圖形與變換”改稱為“圖形的運(yùn)動”，意在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動的角度豐富和拓展對圖形的認(rèn)識，培養(yǎng)初步的空間觀念。
“圖形的運(yùn)動”在義務(wù)教育第一學(xué)段主要是結(jié)合實(shí)例感受、辨認(rèn)日常生活中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱現(xiàn)象，在第二學(xué)段主要是通過觀察、操作等活動進(jìn)一步認(rèn)識平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱現(xiàn)象，學(xué)習(xí)在方格紙上畫出平移或旋轉(zhuǎn)后的圖形，以及補(bǔ)全一個(gè)簡單的軸對稱圖形。雖然學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)知識并不難理解相關(guān)物體或簡單圖形的運(yùn)動特點(diǎn)，但對“圖形運(yùn)動”前后對應(yīng)點(diǎn)或?qū)?yīng)邊的確定方法，以及相關(guān)的操作步驟和過程往往困惑，并會出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤。因此，深入分析學(xué)生在學(xué)習(xí)“圖形的運(yùn)動”過程中可能出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤及其成因，對于幫助學(xué)生正確建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，掌握多維解題策略，突破思維定勢，發(fā)展空間觀念具有十分重要的意義。
一、利用生活經(jīng)驗(yàn)，感知概念本質(zhì)
在整個(gè)數(shù)學(xué)知識體系中，數(shù)學(xué)概念是最基本的構(gòu)成元素，是人腦對現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)特征的一種反映形式，也就是一種數(shù)學(xué)的思維形式。數(shù)學(xué)概念具有本質(zhì)特征，掌握了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，就能經(jīng)受住非本質(zhì)特征信息的干擾，從眾多的數(shù)學(xué)信息中選擇有用信息加以整合并解決問題?！捌揭啤焙汀靶D(zhuǎn)”是常見的兩種運(yùn)動方式，反映在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中，主要是研究相關(guān)物體以及簡單平面圖形的平移和旋轉(zhuǎn)。
“平移 ”和 “旋轉(zhuǎn) ”作為兩個(gè)基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)概念，小學(xué)數(shù)學(xué)教材沒有給出形式化的定義。然而，我們需要思考的是，對數(shù)學(xué)概念“不作定義”并非說教學(xué)就可以停留在表層，不需要弄明白概念的內(nèi)涵與本質(zhì)。
[案例1]在算盤上撥珠，算珠的運(yùn)動是（ ）。
A.旋轉(zhuǎn) B．平移 C．無法判斷
部分學(xué)生選擇A，認(rèn)為珠是圓形的，可以滾動，所以算珠被撥時(shí)的運(yùn)動是旋轉(zhuǎn)。
[案例2]鐘面上的分針從指向12走到指向6的運(yùn)動過程是（ ）。
A.旋轉(zhuǎn) B．平移 C．無法判斷
許多同學(xué)選擇B，他們認(rèn)為分針從指向12走到6之后，原來的位置和現(xiàn)在的位置處在同一條線上，所以這個(gè)運(yùn)動過程是平移。
之所以出現(xiàn)上述錯(cuò)誤，主要原因是學(xué)生對平移和旋轉(zhuǎn)的理解還不夠準(zhǔn)確，認(rèn)為“平移就是平平地移動”，“旋轉(zhuǎn)就是滾動”或“旋轉(zhuǎn)就要轉(zhuǎn)一圈”，沒有領(lǐng)悟概念的本質(zhì)。那么數(shù)學(xué)課程中的“平移”和“旋轉(zhuǎn)”的概念本質(zhì)是什么？回答這樣的問題，我們不妨來看一看它們在初中教材（第三學(xué)段）中的說法：平移是指平面圖形的移動。它具有這樣的特性：（1）把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動，就得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；（2）新圖形中的每一點(diǎn)，都是原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。旋轉(zhuǎn)是指把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。不難發(fā)現(xiàn)，初中教材更加突出了“平移”、“旋轉(zhuǎn)”運(yùn)動過程中的點(diǎn)、線段、角、圖形等的對應(yīng)關(guān)系及其在運(yùn)動中的不變性。
筆者在引導(dǎo)學(xué)生理解“平移”與“旋轉(zhuǎn)”的概念時(shí)，注意回歸生活現(xiàn)實(shí)，先要求學(xué)生對生活中一些物體的運(yùn)動現(xiàn)象進(jìn)行分類，例如：把火車在平直軌道上行駛、風(fēng)車的轉(zhuǎn)動、電梯的上下運(yùn)行、吊扇的轉(zhuǎn)動以及時(shí)針、分針的走動等按一定的標(biāo)準(zhǔn)分成兩類，再引導(dǎo)他們說說為什么可以這樣分。學(xué)生在分類的過程中，主動參與到對“平移”、“旋轉(zhuǎn)”這兩個(gè)概念本質(zhì)屬性的感知之中，并在觀察、比較中體會“平移”與“旋轉(zhuǎn)”的聯(lián)系和區(qū)別。同時(shí)，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生比較平移或旋轉(zhuǎn)前后相對應(yīng)的“點(diǎn)”和“邊”，初步感受這些“點(diǎn)”和“邊”在運(yùn)動過程中的變化特點(diǎn)，以幫助他們盡可能觸及概念的“本質(zhì)要素”。
當(dāng)學(xué)生能夠基于相對相對理性的認(rèn)識進(jìn)行判斷時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)：算珠的運(yùn)動是算珠整體沿檔桿作直線運(yùn)動，應(yīng)看作是平移；鐘面上的分針從指向12走到指向6的過程是指針繞鐘面上的中心在轉(zhuǎn)動，與轉(zhuǎn)動前后的位置是否處在同一條直線無關(guān)，應(yīng)看作是旋轉(zhuǎn)。由此可見，只有找準(zhǔn)點(diǎn)、線、角、不變等 “關(guān)鍵要素”，才能觸及概念的本質(zhì)，也才能作出正確的判斷。
二、把握運(yùn)動要素，掌握操作方法
在初步理解“平移”和“旋轉(zhuǎn)”基本含義的基礎(chǔ)上，學(xué)生還需要進(jìn)一步掌握在方格紙上平移或旋轉(zhuǎn)一個(gè)簡單平面圖形的具體操作方法。但由于對概念理解有偏差或操作方法不清晰等原因，學(xué)生在畫圖時(shí)常常會出現(xiàn)形形色色的錯(cuò)誤。例如，在平移一個(gè)圖形時(shí)，學(xué)生往往把平移前后兩個(gè)圖形之間的空格理解為平移的距離，也有部分學(xué)生會在不經(jīng)意間改變原圖形的形狀；在按要求旋轉(zhuǎn)一個(gè)圖形時(shí)，學(xué)生往往把握不好旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素，即“旋轉(zhuǎn)中心”、“旋轉(zhuǎn)方向”和“旋轉(zhuǎn)角度”，或沒有圍繞指定點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，或旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生偏差，或者旋轉(zhuǎn)角度不合要求。
[案例3]把下面的松樹圖向右平移2格，畫出平移后的圖形。
部分學(xué)生給出了如下圖的答案：
上例中，小學(xué)生由于受生活經(jīng)驗(yàn)的影響，往往不能正確地確定一個(gè)圖形平移的格數(shù)，更想不到依據(jù)某個(gè)點(diǎn)移動的格數(shù)來確定整個(gè)圖形平移的格數(shù)。如何突破難點(diǎn)？筆者在教學(xué)時(shí)把平面圖形的操作過程分解為三個(gè)層次：先教學(xué)“點(diǎn)”的移動，再過渡到“線段”的移動，最后組合為“圖形整體”的移動。
如圖，方格紙中的A點(diǎn)到A′點(diǎn)，向右平移了幾格？線段AB到A′B′，向右平移了幾格？
學(xué)生初步掌握將線段進(jìn)行平移的方法之后，教師相機(jī)在豎直線段AB的下端，添上一條水平線段BC，成為下圖：
線段平移解決了，圖形整體的平移也就水到渠成。在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生逐步認(rèn)識到：要平移整個(gè)圖形，可以先平移一些重要的點(diǎn)，也可以先平移一些重要的邊。例如，上面小房圖的移動，可以關(guān)注小房圖屋頂尖的那一個(gè)點(diǎn)，也可以關(guān)注小房圖中的某一條邊，盡管各人選擇的方法不盡相同，但都能得到正確的結(jié)果。
[案例4]將小旗圖圍繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。
組織交流時(shí)，我發(fā)現(xiàn)如下圖的兩種錯(cuò)誤，其中左圖三角旗的形狀“悄然”發(fā)生了變化，右圖學(xué)生把旋轉(zhuǎn)方向弄反了。
在方格紙上按要求旋轉(zhuǎn)簡單圖形是這部分內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生在畫旋轉(zhuǎn)后的圖形時(shí)容易出錯(cuò)，原因主要是學(xué)生的空間觀念相對薄弱，對圖形的整體感知和描述能力比較差。那么該如何突破難點(diǎn)，幫助學(xué)生掌握方法、發(fā)展空間觀念呢？筆者認(rèn)為可以從以下兩個(gè)方面入手：
一是借助實(shí)物操作，引領(lǐng)學(xué)生在“做中學(xué)”，讓他們親身經(jīng)歷圖形旋轉(zhuǎn)的完整過程，以把握其中的規(guī)律，掌握相應(yīng)的操作方法。教學(xué)時(shí)可以先剪一個(gè)與小旗一樣的實(shí)物圖片，讓學(xué)生在方格紙上按要求轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，然后重點(diǎn)引導(dǎo)他們關(guān)注旋轉(zhuǎn)前后小旗的邊或頂點(diǎn)所發(fā)生的變化，由此逐步明確畫圖步驟。同時(shí)，可要求學(xué)生按順時(shí)針和逆時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)，在比較中反復(fù)體會影響旋轉(zhuǎn)結(jié)果的關(guān)鍵要素。
二是注意從簡單圖形逐步過渡到稍復(fù)雜的圖形，為學(xué)生搭建合適的臺階。在實(shí)物操作基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生嘗試旋轉(zhuǎn)簡單的圖形。例如先旋轉(zhuǎn)線段，再旋轉(zhuǎn)長方形。在學(xué)生按要求旋轉(zhuǎn)的過程中，要引導(dǎo)他們用自己的語言說清楚是“繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”、“按什么方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)”、“旋轉(zhuǎn)了多少度”等操作過程中的基本問題。掌握了簡單圖形的旋轉(zhuǎn)方法后，可以引入三角形、梯形、實(shí)物圖等稍復(fù)雜的圖形。在探索稍復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)方法時(shí)，還可以借助多媒體課件等直觀手段，將旋轉(zhuǎn)的過程動態(tài)演示出來；也可以借助實(shí)物教具，用來檢驗(yàn)旋轉(zhuǎn)結(jié)果的正確性?？偠灾?，用于旋轉(zhuǎn)的圖形要遵循由簡單到復(fù)雜的原則，對每一類圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)時(shí)，要變換旋轉(zhuǎn)的要素，比較旋轉(zhuǎn)前后構(gòu)成圖形的點(diǎn)或線段的位置，反復(fù)體會，從而形成必要的空間觀念。
三、加強(qiáng)審題訓(xùn)練，克服思維定勢
有些學(xué)生受習(xí)慣影響，常常錯(cuò)誤地認(rèn)為，平移的方向要么從上往下，要么從左往右，而旋轉(zhuǎn)的方向通常就是順時(shí)針。因而遇到一些稍復(fù)雜的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時(shí)，就會囿于思維定勢而產(chǎn)生判斷失誤。
[案例5]如圖，每個(gè)小方格的邊長都是1個(gè)單位，將△ABC平移到△DEF的位置，下面正確的平移步驟是（ ）
（A）先向左平移5個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
（B）先向右平移5個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
（C）先向左平移5個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
（D）先向右平移5個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
面對方格圖中的兩個(gè)三角形，有些學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為左邊的三角形通過平移后得到了右邊的三角形，所以選擇D作為正確答案。
[案例6]下列的四組圖形中，哪一組中的一個(gè)長方形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后可以得到另一個(gè)長方形？
（A）①② （B）②③ （C）①④ （D）②④
部分學(xué)生選A，他們認(rèn)為“站”著的長方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)正好“躺”下來。例如圖①和②中“站”著的長方形繞左下方的頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°都能得到“躺”著的長方形。顯然，這些學(xué)生沒有注意到長方形的對角線是否重合。進(jìn)一步分析，沒有選圖④的同學(xué)通常認(rèn)為上面的每組圖形都是“站”著的長方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后得到“躺”著的長方形，因而圖③和圖④是“站”著的長方形經(jīng)過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的。這種錯(cuò)誤認(rèn)識的主要原因是審題不清，對旋轉(zhuǎn)的三要素掌握不牢，同時(shí)受思維定勢的消極影響。如何消除定勢的消極影響？筆者認(rèn)為，教師要蹲下身來，從學(xué)生的角度模擬錯(cuò)誤的情景，尋找錯(cuò)誤的原因，探索改錯(cuò)的方法。
一要加強(qiáng)審題訓(xùn)練。抓住平移與旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵要素，對“平移方向”、“平移距離”以及“旋轉(zhuǎn)中心”、“旋轉(zhuǎn)方向”、“旋轉(zhuǎn)角度” 等關(guān)鍵語句圈圈畫畫；畫圖時(shí)對關(guān)鍵性的地方著重標(biāo)記，克服先入為主的思維定勢。
二要重視對比練習(xí)。變換旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心等關(guān)鍵要素，讓學(xué)生在對比與甄別中獲得解題經(jīng)驗(yàn)，從而有效克服定勢的消極作用。例如，下圖中：
（1）指針從指向A開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，這時(shí)指針指向（ ）；
（2）指針從指向B開始，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，這時(shí)指針指向（ ）；
（3）指針從指向C旋轉(zhuǎn)到指向D，是（ ）時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°；
（4）指針從指向B旋轉(zhuǎn)到指向A，是（ ）時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90°。
三要注意表述方式。學(xué)生習(xí)慣于解決一些順向表述的數(shù)學(xué)問題，例如，把三角形ABC先向右平移3格，再向下平移2格，畫出平移后的圖形。
經(jīng)常解決這樣的問題，思維就會出現(xiàn)一些固化的傾向，而缺少必要的靈活性和多樣性。實(shí)際教學(xué)時(shí)，我們不妨適當(dāng)改變表述的方式，以啟發(fā)學(xué)生打破思維定勢，主動嘗試各種不同的思維方式。例如，可以將上面的問題改編為：把三角形ABC先向上平移2格，再向左平移3格,正好到達(dá)下圖的位置。你能在圖中畫出三角形ABC原來的位置嗎？這樣，由運(yùn)動的結(jié)果狀態(tài)反過來推想運(yùn)動開始前的狀態(tài)，不僅有利于學(xué)生加深對平移過程和特點(diǎn)的理解，而且有利于他們克服思維定勢，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性。
“圖形的運(yùn)動”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的基本內(nèi)容之一，也是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要抓手。組織這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，除了著眼于不斷改進(jìn)“教”的策略，不斷提高教學(xué)的針對性和實(shí)效性，還應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，鼓勵(lì)和引導(dǎo)他們認(rèn)真觀察、仔細(xì)比較、主動操作、大膽想象，在形式多樣的活動中豐富認(rèn)識、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握方法。只有這樣，才能從根本上減少錯(cuò)誤，從而使相關(guān)教學(xué)目標(biāo)得到真正的落實(shí)。
【原文出處】《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》（下半月），2015.11.9～10、14
作者簡介：陳金飛，1974年生，男，江蘇啟東人，江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)副校長，中學(xué)高級教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。
【作者單位】江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)，聯(lián)系地址：江蘇省啟東市人民中路720號（226200），聯(lián)系電話：15962731800，E-mail:cjxxcjf@163.com。