數(shù)學皇冠上的明珠
——哥德巴赫猜想簡介
陳金飛
自然數(shù)結(jié)構(gòu)的中心是素數(shù)。對素數(shù)的研究導致了當代數(shù)學中一個最迷人領(lǐng)域的發(fā)展，那就是數(shù)論。素數(shù)在數(shù)論中有著獨特的魅力，源于它的問題常常能很簡單地表述出來，但是要證明或否證就極其困難。數(shù)論中的許多問題常用猜想來表述，例如“哥德巴赫猜想”，它被譽為數(shù)學皇冠上一顆耀眼的明珠。
一、“哥德巴赫猜想”的提出
哥德巴赫是德國一位中學教師，生于1690年，1723年當選為俄國彼得堡科學院院士。他之所以在數(shù)學上久負盛名，是因為他在1742年6月7日給當時著名的大數(shù)學家歐拉的一封信及后來又寫的幾封信中提出了關(guān)于正整數(shù)和素數(shù)之間關(guān)系的兩個推斷，用現(xiàn)在確切的話來說，就是：
（a）任何一個大于4的偶數(shù)，都可以表示成兩個奇素數(shù)之和；
(b)任何一個大于7的奇數(shù)，都可以表示成三個奇素數(shù)之和。
這就是著名的哥德巴赫猜想。第一個猜想稱之為“偶數(shù)哥德巴赫猜想”。例如：6=3+3；8=3+5；10=3+7；12=5+7；14=7+7……就這樣，哥德巴赫對許多偶數(shù)進行了驗證，都說明這個推斷是正確的，但偶數(shù)的個數(shù)有無窮的，這個推斷是否對所有符合條件的偶數(shù)都成立呢? 哥德巴赫不能予以證明。
第二個猜想稱之為“奇數(shù)哥德巴赫猜想”。隨意取一個奇數(shù)，比如77，可以把它分成三個奇素數(shù)之和，77=53+17+7。哥德巴赫對許多奇數(shù)進行了驗證，發(fā)現(xiàn)這個推斷也是正確的。同樣，他也不能予以證明。
哥德巴赫對于自己的發(fā)現(xiàn)實在無法給出證明，因此他就寫信給當時最負盛名的大數(shù)學家歐拉，請歐拉從理論上來證明這個猜想。經(jīng)過一段時間的深入研究與反復探索，著名的大數(shù)學家歐拉于1742年6月30日的回信中公開承認說：“這個問題我雖然不能證明，但我確信它是正確的。”并將它公之于世以尋求證明。對于敘述如此簡單的問題，連首屈一指的數(shù)學家都不能證明，“哥德巴赫猜想”由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望而不可即的“明珠”。
二、“哥德巴赫猜想”的研究歷程
“哥德巴赫猜想”自1742年被提出以來，已歷時兩個半世紀之多，但對這一猜想的研究，直到20世紀初才有本質(zhì)性的進展。
1.“奇數(shù)哥德巴赫猜想”的證明。
1920年，英國數(shù)學家哈羅德·哈代和李特爾伍德首先將他們創(chuàng)造的圓法應用于數(shù)論難題，“哥德巴赫猜想”研究長期停滯的局面也出現(xiàn)了松動。1923年，他們在“黎曼猜想”正確的前提下證明了每個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。1937年，蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫利用圓法和自己創(chuàng)造的指數(shù)和估計法無條件地證明了“奇數(shù)哥德巴赫猜想”。這是“哥德巴赫猜想”證明的第一個突破，不過維諾格拉多夫的所謂大奇數(shù)要求大得出奇，與“哥德巴赫猜想”的要求仍相距甚遠。沿著另一條思路，1995年，萊塞克·卡涅茨基證明了在“黎曼猜想”成立的前提下，奇數(shù)都可表示為最多五個素數(shù)之和。2012年，陶哲軒在無需“黎曼猜想”的情形下證明了這一結(jié)論。2013年5月13日，法國數(shù)論領(lǐng)域的研究員哈洛德·賀歐夫各特，在線發(fā)表兩篇論文宣布徹底證明了“奇數(shù)哥德巴赫猜想”。賀歐夫各特綜合使用了圓法、篩法和指數(shù)和等傳統(tǒng)方法，把下界降低到了1030左右，賀歐夫各特的同事用計算機驗證了1030以下的所有奇數(shù)都符合猜想，從而完成了“奇數(shù)哥德巴赫猜想”的全部證明。
2.“偶數(shù)哥德巴赫猜想”的證明
不過，圓法用于“偶數(shù)哥德巴赫猜想”效果卻并不令人鼓舞。當然，有許多人做了一些具體的驗證工作，從19世紀末到20世紀初，數(shù)學家們已經(jīng)對大到10000甚至更大的一些偶數(shù)進行試驗驗證，發(fā)現(xiàn)這個猜想是正確的。有人甚至驗算了3．3×109以內(nèi)所有滿足條件的偶數(shù)，仍然沒有發(fā)現(xiàn)例外。但是，偶數(shù)的個數(shù)是無窮的，幾十億個偶數(shù)代表不了全體偶數(shù)，因此對全體偶數(shù)而言，這個猜想是否還正確呢? 還不能肯定。
1900年，德國的希爾伯特在展望新世紀——20世紀數(shù)學發(fā)展前景時，勉勵大家在新世紀里解決這個數(shù)學難題。由于問題實在是太難了，數(shù)學家們開始研究較弱的命題：“任何一個大偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子個數(shù)不超過b個的數(shù)之和”記作“a+b”,這樣“哥德巴赫猜想”就是要證明“1+1”成立。在此后的半個多世紀里人們采用了各種不同的方法（沿著不同的路徑），進行了大量的研究和探索，不斷地向數(shù)學皇冠逼近。
1920年，挪威數(shù)學家布朗用篩選法做出了證明“哥德巴赫猜想”決定性的一步，他證明了“9+9”。1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5+5”。1940年，布赫夕太勃證明了“4+4”。1956年，蘇聯(lián)的維諾格拉多夫證明了命題“3+3”。1956年，我國青年數(shù)學家王元證明了“3+4”。1957年，王元證明了“2+3”。
由于證明工作異常艱苦，而且進展緩慢，人們開始懷疑此命題的正確性。但世界上許多數(shù)學家并沒有為之而放棄，相反，他們不斷地開拓新路，使其結(jié)論不斷地向前推進。1948年，匈牙利數(shù)學家瑞尼開創(chuàng)了第二條證明之路，他證明了“1+R”（當時不知R是幾，所以它僅是一個定性的證明)。1962年，我國數(shù)學家、山東大學的潘承洞教授又證明了“1+5”。1963年，中國的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和維諾格拉多夫及意大利的朋比利證明了“1+3”。就這樣包圍圈越來越小，工作也越來越艱巨，每前進一步都異常困難。雖然如此，但離寶塔的尖端“1+1”已越來越近了，這是令人歡欣鼓舞的。1966年5月，我國青年數(shù)學家陳景潤在《科學通報》上發(fā)表論文證明：任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個數(shù)之和，其中一個是素數(shù)，另一個為不超過兩個素數(shù)的乘積，即“1+2”。這樣離最終目標——“1+1”只有一步之遙了?？墒怯捎谒淖C明過程太復雜了，有二百多頁稿紙，沒有被全部發(fā)表，于是他決定簡化證明過程。經(jīng)過幾年的辛勤而艱苦的工作，1973年陳景潤在《中國科學》上發(fā)表了《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和》這篇重要的論文。這篇論文在國際數(shù)學界引起了強烈的反響，當時英國數(shù)學家哈波斯丹和西德數(shù)學家里希特合著的《篩法》正在校印，他們看到了陳景潤的論文后，要求暫不印刷，在書中加了一章“陳氏定理”。陳景潤的研究成果被公認為是對“哥德巴赫猜想”研究的重大貢獻，是“篩法”理論的光輝頂點，被國際數(shù)學界稱為“陳氏定理”，至今在這一研究領(lǐng)域還保持著領(lǐng)先地位。
三、“哥德巴赫猜想”的研究價值
哥德巴赫猜想的內(nèi)容十分簡潔，但它的證明卻異乎尋常的困難。數(shù)論泰斗、英國數(shù)論學家哈羅德·哈代曾宣稱猜想（1）的困難程度“是可以與數(shù)學中任何未解決的問題相比擬的”。
要否證哥德巴赫猜想只需要一個反例，即明確地舉出一個大于2的偶數(shù)，我們可以檢驗這個猜想是不成立的。然而，盡管有數(shù)以百萬計的例子，我們可以確切地證明哥德巴赫猜想對于它們是成立的，卻從沒有人能夠設(shè)法舉出一個反例來?；蛟S它根本不存在，或許人們只是沒有到正確的地方去尋找。
有人認為即使是數(shù)學家恐怕也難以想象哥德巴赫猜想會有什么樣的實際應用，除了證明它能夠給證明者帶來榮譽和獎金。大部分的純數(shù)學成果想必會一直保持其純粹的狀態(tài)，不會有應用價值。但是一項基礎(chǔ)研究沒有應用價值并非就沒有價值，還可以有學術(shù)價值。有一些數(shù)學家認為，要證明哥德巴赫猜想需要創(chuàng)造出新的數(shù)學方法。新方法一旦被發(fā)明，還可以用到其他數(shù)學難題的證明。更具重要意義的是，哥德巴赫猜想的研究極大地推動了20世紀解析數(shù)論的發(fā)展，圍繞這些問題的解決而產(chǎn)生的強有力的方法，不僅是數(shù)論，而且也是數(shù)學其他許多分支的寶貴財富。
﹡本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃重點資助課題“數(shù)學史視野下的小學數(shù)學教學的案例研究”（批準號：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。
參考文獻：
1．李文林.數(shù)學史教程【M】.北京：高等教育出版社，1999.
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4．劉剛.三元哥德巴赫猜想被法國數(shù)學家徹底證明[J]．高等數(shù)學研究，2013（4）.
（作者單位：江蘇省啟東實驗小學）
本文發(fā)表于《小學教學》，2014.09下.48～49.
3200字