和倍、差倍關(guān)系的教學(xué)再實(shí)踐與再思考
陳金飛
2011年第3期《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（小學(xué)版）發(fā)表了董麗君的《三年級(jí)學(xué)生理解和倍、差倍關(guān)系的教學(xué)實(shí)驗(yàn)與研究》一文。董老師潛心鉆研小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，站在整個(gè)小學(xué)六年數(shù)學(xué)體系的角度，提出了在三年級(jí)實(shí)施和倍、差倍關(guān)系教學(xué)的必要性。拜讀了該文，對(duì)董老師的教學(xué)視野表示由衷的欽佩，覺(jué)得深受啟發(fā)。誠(chéng)如董老師所言，和倍、差倍問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模式客觀存在于一般的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與比例應(yīng)用題中，如六年級(jí)較常見(jiàn)的“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾（百分之幾）”的應(yīng)用題，如果不在整數(shù)應(yīng)用題中將此類問(wèn)題弄清，勢(shì)必留下系統(tǒng)漏洞。董老師嘗試以圖形等式表征，通過(guò)學(xué)習(xí)圖形等式推算的方法，在模式直觀中理解和倍、差倍的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用圖形等式推算的方法解答和倍、差倍問(wèn)題。借助圖形等式推算這一相對(duì)直觀的“腳手架”來(lái)解決和倍、差倍問(wèn)題，顯然為我們的教學(xué)研究提供了一個(gè)嶄新的視角，我們?nèi)昙?jí)數(shù)學(xué)組的老師覺(jué)得很有實(shí)踐價(jià)值，遂依據(jù)董老師的實(shí)驗(yàn)要求，再次編擬了2份試卷（詳見(jiàn)文后的附件），在同軌的18個(gè)班級(jí)中選擇了6個(gè)班級(jí)（每班均40人）進(jìn)行了施教實(shí)驗(yàn)。我們把6個(gè)班分成3組，每組2個(gè)班學(xué)業(yè)水平相當(dāng)，由本人和其他兩位老師各承擔(dān)2個(gè)班的教學(xué)，分別教學(xué)用圖形和線段圖表征題意。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果卻出人意料：
1.表征題意的方式。用圖形表征題意的三個(gè)班（120人）學(xué)生，基本能用圖形表征例題中的5、7兩題，而例題中的6、8兩題，學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，不會(huì)表達(dá)兩個(gè)未知量之間的關(guān)系。通過(guò)例題教學(xué)，在當(dāng)堂反饋檢測(cè)中，檢測(cè)題1、2、4三題能正確表征的學(xué)生占30%，3、5兩題能正確表征占10%。能正確表征題意的學(xué)生都用兩個(gè)圖形兩個(gè)等式的表征方式，沒(méi)有學(xué)生轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形一個(gè)等式的表征方式。用線段圖表征題意的三個(gè)班（120人）學(xué)生，例題5、7兩題學(xué)生能自主畫圖，6、8兩題需要老師適當(dāng)提示，如多的部分與少的部分的正確表達(dá)。同樣，通過(guò)例題教學(xué)，在當(dāng)堂反饋檢測(cè)中，檢測(cè)題1、2、4三題能正確表征的占80%，3、5兩題能正確表征占60%。
2.檢測(cè)題的正確率。用圖形表征題意的班級(jí)，1、2、4三題答題正確率為25%，3、5兩題答題正確率為7.5%；用線段圖表征題意的班級(jí)，1、2、4三題答題正確率為50%，3、5兩題答題正確率為30%。
3.解題的速度。用線段圖表征題意的學(xué)生解題速度明顯快于用圖形表征題意的學(xué)生。
面對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們?nèi)昙?jí)組全體數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了教學(xué)反思，我們覺(jué)得：實(shí)驗(yàn)過(guò)程中固然存在著諸如教師引導(dǎo)水平的差異，但也不可否認(rèn)，同齡學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)能力應(yīng)該基本處于同一水平。根據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，我們認(rèn)為用圖形等式推算的方法不適合在三年級(jí)施教，理由如下：
理由一：將和倍、差倍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形一個(gè)等式，實(shí)質(zhì)是將兩種未知量通過(guò)等量替換轉(zhuǎn)化為一種未知量，這就要求學(xué)生首先要具備這種化文字為圖形的能力，其間又涉及數(shù)量關(guān)系的理解、作圖能力等要求，而顯然這些要求對(duì)部分三年級(jí)學(xué)生而言，拔高了要求，實(shí)踐也證明：這套“化”的功夫?qū)Σ糠謱W(xué)生來(lái)說(shuō)，根本掌握不了。反觀蘇教版教材的編排，把這一策略的教學(xué)安排在六上“解決問(wèn)題的策略單元”，例“小明將720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯正好倒?jié)M，小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？”，是基本符合學(xué)生的心理與知識(shí)特點(diǎn)的。在三年級(jí)為了解決和倍、差倍問(wèn)題而先學(xué)習(xí)替換的策略，顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平。
理由二：用圖形推算的方法解決和倍、差倍問(wèn)題中整數(shù)倍的時(shí)候，由于數(shù)量關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生尚能理解；而一旦出現(xiàn)和倍、差倍問(wèn)題的變式題（如例6、例8），顯然學(xué)生的理解能力還不能達(dá)到這一高度。當(dāng)幾倍多（少）幾用1倍數(shù)來(lái)表示時(shí)，或者是用順的思維思考，這相當(dāng)于建立了一個(gè)方程，三年級(jí)學(xué)生顯然沒(méi)有這樣的解決能力；或者是用逆的思維思考，可如何用算術(shù)方法來(lái)解決“多（少）幾”，根據(jù)圖形表征，學(xué)生一時(shí)也理解不了。
基于以上思考，我們對(duì)“和倍、差倍應(yīng)用題到底以怎樣的形式表征數(shù)量關(guān)系更適切”作了更為深入的研討。通過(guò)仔細(xì)查閱蘇教版教材編排體系，結(jié)合施教的結(jié)果，我們認(rèn)為用線段圖來(lái)表征和倍差倍應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系更適切。在蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)“乘法單元”中的“倍的認(rèn)識(shí)”，教材安排教學(xué)了“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”和“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”兩大類型。其中在教學(xué)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”時(shí)，教材有意滲透線段圖的表征方式，從最初的實(shí)物圖逐步抽象成用圖形（如圓、三角形）代替實(shí)物，再過(guò)渡到用一長(zhǎng)條表示1倍數(shù)，幾個(gè)相同的長(zhǎng)條表示幾倍數(shù)。在教學(xué)“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，則抽象成線段圖來(lái)表征兩個(gè)量之間的關(guān)系。顯然，三年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備初步的畫線段圖解決問(wèn)題的能力。而我們?cè)诮虒W(xué)用線段圖來(lái)表征和倍差倍應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，也明顯感覺(jué)學(xué)生學(xué)得輕松，而且效果好。經(jīng)過(guò)施教實(shí)驗(yàn)，我們?nèi)w三年級(jí)組數(shù)學(xué)老師形成了對(duì)這一知識(shí)系統(tǒng)教材處理中如何以學(xué)定教的些許感悟。
1.要用系統(tǒng)的思想處理教材，以整體的方式建構(gòu)學(xué)習(xí)模型。
教學(xué)，是“讓新知之舟泊在舊知的錨上”，為新知的學(xué)習(xí)提供最佳關(guān)系和固定點(diǎn)?？v向（轉(zhuǎn)化）順應(yīng)于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，橫向（類比）“點(diǎn)”狀的新知同化建構(gòu)成一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在起始課中，我們可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生歸納梳理學(xué)習(xí)的過(guò)程，建立清晰的“倍”的概念。到了高段以分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）和比的相關(guān)內(nèi)容繼續(xù)推進(jìn)“兩量倍比關(guān)系”的教學(xué)。五年級(jí)（下冊(cè)）《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》單元安排了 “求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的實(shí)際問(wèn)題，六年級(jí)（上冊(cè)）由比的學(xué)習(xí)，溝通了“兩量倍比關(guān)系”的不同情況：商比1小往往用分?jǐn)?shù)表達(dá)，商大于或等于1可以用倍數(shù)（或分?jǐn)?shù)等）來(lái)表示。此時(shí)學(xué)生已從形象思維為主逐步過(guò)渡到以抽象思維為主，我們可以根據(jù)不同層次的學(xué)生提出不同的要求，對(duì)思維能力強(qiáng)的學(xué)生可以鼓勵(lì)其進(jìn)行抽象思考，再以數(shù)化形，驗(yàn)證自己的思考；對(duì)于思維能力弱的學(xué)生可以鼓勵(lì)其以形換數(shù)，支撐并促進(jìn)對(duì)問(wèn)題的理解與分析。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的歷練，就可以逐步走向理性思考。到了六年級(jí)（下冊(cè)）解決“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多或少百分之幾”的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師可以讓學(xué)生借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，也可以直接從問(wèn)題入手分析比較量及相應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)，“數(shù)缺形時(shí)少直觀、形少數(shù)時(shí)難入微”。因此在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們借助于圖形，以數(shù)化形，以形換數(shù)，不僅可以使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化，也可以借助數(shù)量關(guān)系的理解和分析，使思維過(guò)程更深入，更有條理。
2.提前孕伏，合理滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想。
在教學(xué)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”時(shí)要滲透這樣兩個(gè)問(wèn)題“一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的和是1倍數(shù)的幾倍”、“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾倍”。如“楊樹(shù)5棵，柳樹(shù)15棵，柳樹(shù)和楊樹(shù)的總棵樹(shù)是楊樹(shù)的幾倍？柳樹(shù)的棵樹(shù)比楊樹(shù)多幾倍？”學(xué)完了“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”后，教師還可根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，靈活地進(jìn)行逆向拓展，即讓學(xué)生嘗試解決“一倍數(shù)未知”的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題（在過(guò)去的九年義務(wù)制人教版教材在二年級(jí)有所編排），如“柳樹(shù)15棵，是楊樹(shù)的3倍。楊樹(shù)有多少棵？”讓學(xué)生先找1倍數(shù)，理出數(shù)量關(guān)系式“楊樹(shù)的棵樹(shù)×3=柳樹(shù)的棵樹(shù)”，根據(jù)乘除法之間的關(guān)系用除法求出1倍數(shù)。雖然教材將較復(fù)雜的“一倍數(shù)未知”的問(wèn)題安排在五年級(jí)方程單元進(jìn)行教學(xué)，但解決問(wèn)題的教學(xué)不能局限于相同類型的問(wèn)題情境，讓學(xué)生陷入思維定勢(shì)。在解決問(wèn)題過(guò)程中，同樣注意數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的線段圖，分析數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生理解線段圖對(duì)于數(shù)學(xué)思考的重要價(jià)值。
3.適切的才是最好的。
美國(guó)著名教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾曾經(jīng)提出這樣的命題：“如果我不得不將所有的教育心理學(xué)原理還原為一句話的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)?！彼自捳f(shuō)教無(wú)定法，貴在得法。施教時(shí)一定要考慮受教者的認(rèn)知基礎(chǔ)。誠(chéng)如方運(yùn)加在《數(shù)學(xué)教育科學(xué)是綱（續(xù)）》一文中所論：“從對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的研究中獲取科學(xué)的教學(xué)方法——對(duì)‘左和右的認(rèn)識(shí)’運(yùn)用科學(xué)的方法，像皮亞杰那樣，在對(duì)認(rèn)識(shí)活動(dòng)步驟的分解上下功夫，就有可能取得更好的教學(xué)效果?！彼裕覀?cè)趯?shí)施教學(xué)時(shí)，一定要基于學(xué)生的理解水平，實(shí)施有“過(guò)程”的教學(xué)。
（非常感謝參與討論的三年級(jí)組全體數(shù)學(xué)教師及參與上課的張燕、周禮兩位老師）
附試卷一
例題：
1. ○ ＋ □ =20 ○= □＋□＋□ ○=（ ），□=（ ）
2. ○ － □ =20 ○= □＋□＋□ ○=（ ），□=（ ）
3. ○＋□=34 ○=□＋□＋□＋2 ○=（ ），□=（ ）
4. ○－□=10 ○= □＋□＋□－6 ○=（ ），□=（ ）
5．奶奶家養(yǎng)了公雞和母雞，一共35只，公雞的只數(shù)是母雞的4倍，奶奶養(yǎng)的公雞和母雞各有多少只？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
6．四年級(jí)和五年級(jí)共有54人，四年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生人數(shù)的2倍少6人，四，五年級(jí)各有多少人？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
7．甲、乙兩所學(xué)校，甲校學(xué)生比乙校多24人，甲校學(xué)生人數(shù)是乙校的3倍。甲、乙兩校各有學(xué)生多少人？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
8.有兩堆黃沙，第一堆比第二堆多38噸，已知第一堆比第二堆的4倍還多5噸。兩堆黃沙各多少噸？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
達(dá)標(biāo)檢測(cè)：
1.食堂做肉包子80個(gè)，做菜包子的數(shù)量是肉包子的3倍。肉包子和菜包子一共做了多少個(gè)？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
2.糧店運(yùn)來(lái)大米和面粉共28千克，其中大米的重量是面粉的3倍。運(yùn)來(lái)大米和面粉各多少千克？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
3．某汽車場(chǎng)共有大、小貨車共61輛，大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這個(gè)汽車場(chǎng)大貨車、小貨車各有幾輛？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
4.甲桶中的油比乙桶中的油多30千克，其中甲桶中的油是乙桶的4倍。原來(lái)兩桶油各是多少千克？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
5.某工廠女職工人數(shù)比男職工少54人，男職工人數(shù)比女職工的8倍少2人。這個(gè)工廠男、女職工各有多少人？（先用圖形表示題中的數(shù)量關(guān)系，再解答）
試卷二
例題：
5～8題、達(dá)標(biāo)檢測(cè)與試卷一相同，只是要求學(xué)生先畫線段圖，再解答。
本文發(fā)表于《中小學(xué)數(shù)學(xué)》，2011.09.8～10.
4200字