構(gòu)建促進(jìn)學(xué)生深刻理解的數(shù)學(xué)課堂
陳金飛
摘要：“關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)成長，為學(xué)生的理解而教”已然成為當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，而通過整體把握教學(xué)結(jié)構(gòu)和整體定位思維結(jié)構(gòu)，卻是實(shí)現(xiàn)學(xué)生智慧學(xué)習(xí)、深刻理解的重要途徑與策略。教學(xué)中，注重對(duì)可類比知識(shí)、單元知識(shí)和同一知識(shí)內(nèi)容不同學(xué)段的整體設(shè)計(jì)，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)，具有重要的導(dǎo)引作用；注重整體立意、拓展體驗(yàn)、關(guān)聯(lián)思考的思維策略培養(yǎng)，能有效地提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解深度。
關(guān)鍵詞：整體教學(xué) 整體思維 深刻理解 數(shù)學(xué)課堂
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，理解無疑是第一位的。心理學(xué)研究表明：人在知覺的過程中總有追求整體性的特點(diǎn)，整體是由各種相互聯(lián)系的要素組成，對(duì)各要素的把握只有放到整體的結(jié)構(gòu)中才能理解清晰。在教學(xué)時(shí)，如何把握整體，促使學(xué)生深刻理解？筆者基于多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)。
一、定位整體教學(xué)結(jié)構(gòu)，在整體融合中促進(jìn)學(xué)生理解
在數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)專題的知識(shí)既具有相對(duì)獨(dú)立性，相互之間又具有相互關(guān)聯(lián)性。正因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系、有機(jī)發(fā)展的，因此，如果在各知識(shí)點(diǎn)之間建立適當(dāng)?shù)摹奥?lián)結(jié)”，并能靈活“變式”，則能幫助學(xué)生構(gòu)建深刻而完整的知識(shí)體系。在這里，“聯(lián)結(jié)”是指挖掘知識(shí)之間、事物之間的相互關(guān)聯(lián)的內(nèi)涵或外延，從縱向或橫向等多側(cè)面、多角度去把握知識(shí)體系、構(gòu)建新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。
1．可類比知識(shí)的整體設(shè)計(jì)。
實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的重要標(biāo)志是讓學(xué)生在一定的知識(shí)系統(tǒng)中明確知識(shí)之間的聯(lián)系。教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過不斷的整理歸納，使所學(xué)知識(shí)形成一定的系統(tǒng)，是加深數(shù)學(xué)知識(shí)理解的一條重要途徑。特別是在概念學(xué)習(xí)中，可通過建立概念體系去加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，因?yàn)椤耙粋€(gè)科學(xué)概念的真正含義，就意指它在與其他概念的關(guān)系中處于一定的位置”。如對(duì)數(shù)的計(jì)算、量的計(jì)量、幾何初步知識(shí)等內(nèi)容，同樣需要形成一定的知識(shí)系統(tǒng)，在相應(yīng)的知識(shí)體系上去理解這些內(nèi)容，可達(dá)到居高望遠(yuǎn)的功效，更容易發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別。
例如教學(xué)“面積單位”時(shí)，不能孤立地關(guān)注學(xué)生是否對(duì)于“平方厘米、平方分米、平方米”建立正確的表象，而要充分研習(xí)教材，把面積單位與長度單位、體積單位進(jìn)行關(guān)聯(lián)思考和整體設(shè)計(jì)。學(xué)生已有的長度單位，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的面積概念、面積單位，以及到高年級(jí)要學(xué)習(xí)的體積概念、體積度量單位，這些知識(shí)是一類縱向的、具有內(nèi)在聯(lián)系的，是線、面、體相關(guān)概念和度量單位的一類課。學(xué)習(xí)長度應(yīng)該要測量，應(yīng)該有單位，學(xué)習(xí)面積也一樣，后續(xù)學(xué)習(xí)體積也一樣，都需要測量，都應(yīng)該有測量單位。用單位長度為邊長的正方形圍出了面積單位，因此，想到長度單位，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的面積單位，幫助學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)體系，促使學(xué)生有意義地掌握知識(shí)、形成能力。
2．單元知識(shí)的整體設(shè)計(jì)。
如何關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系——包括同一領(lǐng)域內(nèi)容之間的相互連接、不同知識(shí)領(lǐng)域之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。我們嘗試單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，關(guān)注知識(shí)的結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)。建構(gòu)單元的知識(shí)體系，更有效地找尋到單元教學(xué)的主脈絡(luò)，讓教師教得明晰、明確、明白，讓學(xué)生學(xué)得有思路、有方法、有收獲。當(dāng)然，單元整體不應(yīng)是線性的、機(jī)械的匯整，而應(yīng)是整體的模塊、高效的融合，整合的課堂應(yīng)當(dāng)是清晰的、利于學(xué)生理解的。
例如蘇教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)中“小數(shù)乘除法”一課，課本分兩段編排：第一段讓學(xué)生借助計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法，中間插一個(gè)單元“公頃和平方千米”，再組織學(xué)習(xí)小數(shù)乘小數(shù)和小數(shù)除以小數(shù)。
這樣的分段安排，容易造成學(xué)生過分關(guān)注一個(gè)個(gè)分散、零碎的“知識(shí)點(diǎn)”，很少去關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系和發(fā)展。剛知道“是什么”，想了解“為什么”卻要等到下一循環(huán)。因此我在執(zhí)教這一內(nèi)容時(shí)，對(duì)教材進(jìn)行適度調(diào)整與整合。
在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法之前，先將編排在“小數(shù)乘整數(shù)”知識(shí)點(diǎn)后面的“小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律”前移，學(xué)生有了整數(shù)乘法、積的變化規(guī)律、小數(shù)的位置變化引起的小數(shù)大小變化的規(guī)律這些知識(shí)基礎(chǔ)，將小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)納入同一體系，緊緊抓住如何確定積的小數(shù)點(diǎn)的位置這一關(guān)鍵，將未知的小數(shù)乘法問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的整數(shù)乘法問題，學(xué)生很輕松地歸納出兩個(gè)因數(shù)一共有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)的規(guī)律，一節(jié)課就把原本分裂開的兩個(gè)內(nèi)容解決了。
學(xué)生既掌握了算法，又懂得了算理，有效避免因計(jì)算小數(shù)加減法產(chǎn)生的負(fù)遷移。
3．同一知識(shí)內(nèi)容不同學(xué)段的整體融通。
現(xiàn)行教材普遍采用“分步實(shí)現(xiàn)，螺旋上升”的原則編排教學(xué)內(nèi)容，既有利也有弊。一方面，適當(dāng)?shù)穆菪浇Y(jié)構(gòu)，可以很好地滿足不同發(fā)展階段學(xué)生的課程需求，符合學(xué)生思維發(fā)展的階段性與理解水平的階段性的現(xiàn)實(shí)要求，但另一方面，客觀上造成了教學(xué)中過分關(guān)注一個(gè)個(gè)分散、零碎的“知識(shí)點(diǎn)”，很少去關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系和發(fā)展。
學(xué)生按照這種體系學(xué)習(xí)，他們很難明白所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)單元、整冊(cè)教材，乃至整個(gè)教材體系中的地位和作用，這將不利于學(xué)生知識(shí)的提取和能力的提升。這就要求我們要整體、有序把握教材體系，了解每個(gè)“知識(shí)點(diǎn)”在整個(gè)學(xué)習(xí)系統(tǒng)中所處的地位和作用，把每堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)放在整個(gè)教學(xué)體系的視野中來設(shè)定，引導(dǎo)學(xué)生理清教材的知識(shí)層次，重視知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，提高課堂教學(xué)的效率和思想性，達(dá)到“既見森林，又見樹木”的教學(xué)效果。
“數(shù)的改寫”這一知識(shí)的編排，蘇教版第一次安排在四年級(jí)上冊(cè)，將整萬數(shù)、整億數(shù)改寫成以萬、億作計(jì)數(shù)單位的數(shù)，將非整萬數(shù)、整億數(shù)改寫成以萬、億作計(jì)數(shù)單位的近似數(shù)。
第二次出現(xiàn)是在五年級(jí)上冊(cè)，把較大的非整萬數(shù)、整億數(shù)改寫成用“萬”或“億”作單位的近似數(shù)。
第三次出現(xiàn)是在第三學(xué)段七年級(jí)上冊(cè)近似數(shù)這一節(jié)，在這一節(jié)里先學(xué)習(xí)有關(guān)乘方的知識(shí)，在此基礎(chǔ)上引出“有效數(shù)字”，如 3.30×104精確到 哪一位，有幾個(gè)有效數(shù)字？
如何確保第二學(xué)段知識(shí)與第三學(xué)段知識(shí)整體融通性，在第二學(xué)段第一次數(shù)的改寫學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)增加“以十、百、千作計(jì)數(shù)單位的數(shù)的改寫”，如將15687分別改寫成以十、百、千、萬作計(jì)數(shù)單位的數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)的改寫是將“個(gè)”的計(jì)數(shù)單位改寫成其他計(jì)數(shù)單位，只要將計(jì)數(shù)單位后面一位上的數(shù)四舍五入后加上計(jì)數(shù)單位。
這樣便于學(xué)生在第二次學(xué)習(xí)時(shí)理解數(shù)的改寫就是去掉計(jì)數(shù)單位后面的零，也相當(dāng)于將個(gè)位后面的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了相應(yīng)的位置，而保留相應(yīng)的小數(shù)位數(shù)相當(dāng)于第三學(xué)段將要學(xué)習(xí)的科學(xué)計(jì)數(shù)法以及有效數(shù)字的相關(guān)內(nèi)容。
例如15687改寫成萬作單位的數(shù)，是1.5687萬，如果改寫成以百作計(jì)數(shù)單位的近似數(shù)，則相當(dāng)于將結(jié)果保留兩位小數(shù)就是1.57萬，第三學(xué)段則表示為1.5687×104≈1.57×104，取3個(gè)有效數(shù)字。
二、定位整體思維結(jié)構(gòu)，在系統(tǒng)化的思維中加強(qiáng)學(xué)生理解
以前，我們比較多地是從教學(xué)內(nèi)容的角度來確定教學(xué)思路，如導(dǎo)入、新授、鞏固、拓展、提升，其核心是知識(shí)的掌握和技能的訓(xùn)練。但指向?qū)W生理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)整體思考，把目光更多的聚焦到過程、聚焦到學(xué)生、聚焦到如何將數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在教學(xué)內(nèi)容之中，把問題的各種要素和其他知識(shí)連接起來，多種“策略”并舉解決問題，，促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)”能力的提高。
1．把握整體，注重培養(yǎng)直覺思維。
直覺的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，直覺思維的核心是能從整體上直接抓住問題的核心，對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象、問題及其關(guān)系作出直接的、敏銳的判斷，迅速對(duì)問題的答案作出合理的猜測、設(shè)想。數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的整體以及知識(shí)之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)，頭腦中能形成一幅整體的形象，有利于激發(fā)數(shù)學(xué)直覺思維。涉及具體的問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從整體入手觀察問題，發(fā)現(xiàn)其特征，善于簡化信息與問題的距離。
例如五年級(jí)小數(shù)除法中有這樣一道練習(xí)題“工廠用 2 臺(tái)機(jī)器 2.5 小時(shí)生產(chǎn)零件 2500 個(gè)。照這樣計(jì)算，用 4 臺(tái)機(jī)器 5 小時(shí)生產(chǎn)零件多少個(gè)？”大部分學(xué)生用一般方法求解，即先用除法算出單一量，再用乘法算出總數(shù)量，但其過程較繁瑣。而有幾個(gè)學(xué)生卻能迅速報(bào)出答數(shù)是10000個(gè)。
筆者及時(shí)抓住這個(gè)良機(jī)，讓他們講講道理。原來他們從整體上對(duì)題目進(jìn)行觀察分析，機(jī)器臺(tái)數(shù)是原來的2倍，工作時(shí)間也是原來的2倍，而工作效率不變，則工作總量應(yīng)是原來的（2×2）倍，故是2500×（2×2）=1 萬（個(gè)）。由此可見，運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過敏銳而迅速的洞察判斷，能快速把握問題的本質(zhì)。
2．拓展體驗(yàn)，有機(jī)感悟數(shù)學(xué)思想。
數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)精神的核心部分，它可以在人的內(nèi)心深處培植理性的種子，它可以讓你擁有一顆數(shù)學(xué)的大腦，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會(huì)理性地看待問題、關(guān)注周遭、理解世界。也就是說，人的“數(shù)學(xué)智能”在很大程度上依賴于其對(duì)“數(shù)學(xué)基本思想”的掌握。數(shù)學(xué)基本思想是學(xué)生通過“再發(fā)現(xiàn)”的方式習(xí)得的、在數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展過程中支撐作用的思想。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該保持一種開闊的視野，引領(lǐng)學(xué)生在知識(shí)發(fā)生的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)基本思想，在問題解決過程中凸顯數(shù)學(xué)基本思想，在知識(shí)總結(jié)的過程中歸納數(shù)學(xué)基本思想。
例如教學(xué)蘇教版四上“找規(guī)律”，即兩個(gè)物體“一一間隔排列”。兩個(gè)物體“一一間隔排列”有三種情形，即“兩端物體相同”、“兩端物體不同”和“圍成封閉圖形的”。也有老師把它視為“植樹問題”進(jìn)行教學(xué)，分為四種情形，即“兩端都種”、“只種一端”、“兩端都不種”、“圍成封閉圖形的”。
一般的教法都是先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一種規(guī)律，再逐步引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)另外一種規(guī)律，這樣就像盲人摸象。其實(shí)不管怎樣分類，都可以看作一個(gè)整體，都可以依托“一一對(duì)應(yīng)”數(shù)學(xué)思想去思考，也就是學(xué)生所說的“一個(gè)對(duì)著一個(gè)”。當(dāng)學(xué)生會(huì)用“一個(gè)對(duì)著一個(gè)”的思想解決問題時(shí)，規(guī)律本身已經(jīng)不那么重要了。學(xué)生只要依據(jù)基本模式并通過適當(dāng)?shù)淖兓湍芙鉀Q各種新的問題，如路燈問題、排隊(duì)問題、鋸樹問題、爬樓問題等。
3．關(guān)聯(lián)思考，深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)策略。
運(yùn)用策略解決實(shí)際問題，要有整體觀念。解決問題的策略不是唯一的，解決同一問題時(shí)也不是只限于一種策略的應(yīng)用，就像一個(gè)一個(gè)地獨(dú)立地并且孤立地散落在海灘上的貝殼，教師要善于引領(lǐng)學(xué)生將貝殼串成項(xiàng)鏈。
通過循序漸進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)，不斷加強(qiáng)策略的形成，加深對(duì)策略的體驗(yàn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題，深化對(duì)問題的獨(dú)特理解，并由此形成解決問題的基本策略，體會(huì)解決問題策略的多樣性。
例如學(xué)習(xí)雞兔同籠問題，如：“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？”可以采用列表法：
|
雞的只數(shù) |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|
兔的只數(shù) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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腳的只數(shù) |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
26 |
我們考慮列表的過程：雞8只、兔0只，通過計(jì)算，腳16只；雞7只，兔1只，腳2×7+4×1=18只。通過比較兩次列表的數(shù)據(jù)，每調(diào)整一次，腳就增加2只，如果考慮能否一步到位，即每次減少一只雞，增加一只兔，腳就增加2只，需要調(diào)整的次數(shù)為10÷2=5，即雞要減少5只，這就是所謂的假設(shè)法，再回頭看我們的列表過程，雞的只數(shù)為□只，兔的只數(shù)為（8-□）只，腳的總數(shù)為2×□+4×（8-□），這就是所謂的方程法。從這道題解法中，折射出多種策略——列表、方程、假設(shè)、分析與綜合。
參考文獻(xiàn)：
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本文發(fā)表于《遼寧教育》，2014.5.85～87.
4500字