構(gòu)建充溢數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的深刻課堂
——以平面圖形的面積學(xué)習(xí)為例
江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)陳金飛（226200）
數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是注重“數(shù)學(xué)聯(lián)系”的教學(xué)，教師要經(jīng)常有目的地揭示數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通各部分知識(shí)之間縱向與橫向的聯(lián)系，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識(shí)，形成正確的數(shù)學(xué)觀，且應(yīng)將“數(shù)學(xué)聯(lián)系”的教學(xué)貫穿教學(xué)的始終，締構(gòu)出深刻且有效的課堂。下面，以平面圖形的面積學(xué)習(xí)為例，談?wù)勅绾螛?gòu)建充溢數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的深刻課堂方面的認(rèn)識(shí)。
一、深究“理解”本義，賦予關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)更強(qiáng)大的生長(zhǎng)力
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“理解”無(wú)疑是第一位的。實(shí)際教學(xué)中，公式的記憶往往被視為“理解”的標(biāo)志：我曽幫助孩子回顧長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，學(xué)生應(yīng)然回答：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。我追問(wèn)：為什么長(zhǎng)乘寬的結(jié)果就是長(zhǎng)方形的面積？學(xué)生面面相覷，感到很困惑。長(zhǎng)方形面積就是這樣計(jì)算的，哪還有為什么？學(xué)生以為熟記長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，會(huì)做題，就算理解了這部分知識(shí)。一個(gè)圖形的面積，其實(shí)質(zhì)是它所包含的面積單位的個(gè)數(shù)。度量的本質(zhì)含義是用單位（長(zhǎng)度、面積、體積等）去測(cè)量物體。測(cè)量圖形的面積需要面積單位，國(guó)際常用的面積單位有平方厘米、平方分米、平方米。如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷度量的過(guò)程，沒(méi)有將度量單位及單位間的換算關(guān)系扎實(shí)建構(gòu)，他們就無(wú)法理解度量的本質(zhì)含義，只能死套公式計(jì)算，不會(huì)隨機(jī)應(yīng)變。我在執(zhí)教《長(zhǎng)方形和正方形的面積》一課時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷度量過(guò)程，在不斷的體驗(yàn)中，逐步建構(gòu)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，獲得對(duì)計(jì)算方法的理解，走近知識(shí)的本質(zhì)。
二、著眼“關(guān)聯(lián)”本質(zhì)，賦予數(shù)學(xué)思維更完善的整合力
“數(shù)學(xué)聯(lián)系”首先是指數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，關(guān)注內(nèi)部的聯(lián)系，才能有效把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，利用知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系解決問(wèn)題。由于教材對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律分段編排的，容易造成知識(shí)的割裂。因而，教師要有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，比較知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，明晰知識(shí)的來(lái)龍去脈，使各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在腦海中連成線(xiàn)、結(jié)成網(wǎng)，形成整體性知識(shí)結(jié)構(gòu)。
對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，熟記面積計(jì)算公式比明白其所以然更為容易。對(duì)教師來(lái)說(shuō)，告訴面積計(jì)算公式比引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究的過(guò)程更經(jīng)濟(jì)高效。然而關(guān)聯(lián)式理解將平行四邊形、三角形、梯形、圓形面積計(jì)算公式與長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式聯(lián)系起來(lái)，建立相互關(guān)聯(lián)，這樣做，雖然所用的時(shí)間較多，不但要學(xué)習(xí)各個(gè)計(jì)算公式，還要知道它們彼此之間的關(guān)聯(lián)。但一旦學(xué)會(huì)了，就會(huì)形成整體結(jié)構(gòu)，易于記憶，便于檢索，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，更經(jīng)濟(jì)。
1.回憶溝通，呈現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系
師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了哪些平面圖形？
生：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形。
師：這些平面圖形之間有怎樣的聯(lián)系？
生：我可以用集合圖來(lái)表示學(xué)過(guò)的圖形之間的關(guān)系，用一個(gè)大圈表示平面圖形，里面包含三角形、四邊形，四邊形包含平行四邊形、梯形，平行四邊形包含長(zhǎng)方形，正方形是特殊的長(zhǎng)方形。
2.遷移建構(gòu)，彰顯整體思維
師：我們已學(xué)會(huì)用面積單位測(cè)量圖形的面積，知道了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法。這是一個(gè)長(zhǎng)7厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形，它的面積是多少？
生：7×5=35平方厘米。
師：如果把這個(gè)長(zhǎng)方形拉成一個(gè)平行四邊形（高3厘米），這個(gè)平行四邊形的面積你會(huì)算嗎？
生：用1平方厘米的小正方形測(cè)量，不滿(mǎn)1格的湊成1平方厘米。（該生受長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式推導(dǎo)思想的啟發(fā)，面對(duì)新問(wèn)題，沒(méi)有束手無(wú)策。）
生：我贊同他的想法，只是有一點(diǎn)小小的改動(dòng)，把不滿(mǎn)1格的，通過(guò)平移，轉(zhuǎn)化為1格，我算到平行四邊形的面積是15平方厘米。
生：我想到了一個(gè)好辦法，我能上去畫(huà)嗎？把平行四邊形沿著高剪開(kāi)，把剪下的三角形平移到另一邊，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。平移前后，圖形的面積不變，只要求出長(zhǎng)方形的面積，也就求出平行四邊形的面積。如圖1。
師：能聽(tīng)懂這位同學(xué)的想法嗎？
生1：我們可以不直接用面積單位度量平行四邊形的面積，而是沿著高把平行四邊形剪開(kāi)，把左面的三角形平移到右邊，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積等于平行四邊形的面積，長(zhǎng)等于底，寬等于高，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高。
板書(shū)：
長(zhǎng)方形的面積= 長(zhǎng) × 寬
↓ ↓ ↓
平行四邊形的面積= 底 × 高
生2：他是用轉(zhuǎn)化的方法，我覺(jué)得很好，遇上新問(wèn)題，把它轉(zhuǎn)化為會(huì)解決的問(wèn)題。我也有一種不同的剪拼思路，我是沿著高剪成兩個(gè)梯形再通過(guò)平移拼成長(zhǎng)方形。如圖2。
顯然，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的整體以及知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，頭腦中能形成一幅整體的形象，有利于學(xué)生思維的發(fā)展。
三、注重“變式”遷移，賦予問(wèn)題解決更寬闊的提升力
在數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)概念、規(guī)律既有相對(duì)獨(dú)立性，又有相互關(guān)聯(lián)性。正因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)之間存有相互關(guān)聯(lián)性，如果將各個(gè)分散的知識(shí)點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)摹奥?lián)結(jié)”，在教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行“變式”，則能幫助學(xué)生建構(gòu)更具適應(yīng)力的知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決力。人在潛意識(shí)中都有一種對(duì)未知領(lǐng)域探究的興趣，即好奇心。一種是浮于表面現(xiàn)象的獲得，另一種是以深究其內(nèi)在的本質(zhì)和規(guī)律，以及相互之間的聯(lián)系為趣事。郭思樂(lè)教授認(rèn)為，人對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，正像人的胚胎發(fā)育一樣，各個(gè)部分是同步生長(zhǎng)的?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，如果我們?cè)诮M織教學(xué)活動(dòng)中，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法，探求事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，建立相互之間的關(guān)聯(lián)性，那么必然會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、規(guī)律的深刻理解。以三角形的面積公式推導(dǎo)為例：
1.回憶舊知，構(gòu)筑策略
師：回顧一下，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些圖形面積計(jì)算公式？
生：我們已經(jīng)會(huì)算長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積。
師：還記得我們是如何得出長(zhǎng)方形、平行四邊形面積計(jì)算公式的？
生：略
2.變式遷移，探究學(xué)成
師：我們用數(shù)方格的方法，推導(dǎo)出長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式。用剪拼轉(zhuǎn)化的方法，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。那你打算用什么方法來(lái)研究三角形面積計(jì)算公式呢？以四人小組為單位，設(shè)計(jì)一個(gè)研究方案，推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。
學(xué)生以四人小組為單位合作探究、反饋。
生1：我們小組借助面積單位度量三角形的面積，如圖3，發(fā)現(xiàn)不同類(lèi)型的三角形的面積都等于底乘高的一半。
生2：我覺(jué)得用數(shù)方格的方法太麻煩，研究平行四邊形的面積時(shí)，我們走的轉(zhuǎn)化之路，所以我們小組也用轉(zhuǎn)化的方法研究三角形的面積，我們發(fā)現(xiàn)用兩個(gè)完全相同的三角形都可以拼成平行四邊形，如圖4。因?yàn)槠叫兴倪呅蚊娣e=底×高，所以三角形的面積=底×高÷2。
生3：我覺(jué)得轉(zhuǎn)化的方法比數(shù)方格的方法更具優(yōu)勢(shì)，但我有一個(gè)疑惑，如果只用一個(gè)三角形不知是否可以推導(dǎo)出面積計(jì)算公式？
師：多么有價(jià)值的問(wèn)題。趕緊動(dòng)手試試看。
生1：我有辦法了。我把三角形沿著底邊上的高折出一條折痕，再把左右兩個(gè)三角形的底邊對(duì)折，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，把三角形可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，如圖5。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于三角形底的一半，寬等于三角形的高，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以三角形的面積=底÷2×高=底×高÷2。
生2：我受此啟發(fā)，還可以把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖6。
生3：如果換個(gè)方向，也可以把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖7。
生4：老師（非常激動(dòng)地喊起來(lái)），我不但會(huì)計(jì)算三角形面積，還會(huì)計(jì)算梯形面積。像圖（5）那樣把兩個(gè)相同的梯形拼成平行四邊形，算出平行四邊形的面積，除以2就成功了，如圖8。
生5：我們也可以像圖5那樣把兩個(gè)尖角通過(guò)旋轉(zhuǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，如圖9。
生6:我們還可以像圖6那樣，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖10。
生：我們還可以像圖7那樣，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖11。
總之，學(xué)成數(shù)學(xué)的要點(diǎn)不在于記憶大量的法則，而在于構(gòu)建充溢關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。當(dāng)我們以關(guān)聯(lián)方式理解數(shù)學(xué)，就會(huì)主動(dòng)將新舊知識(shí)建立聯(lián)系，易于把握知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)理解。
【作者簡(jiǎn)介】陳金飛，1974年生，男，江蘇啟東人，江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)副校長(zhǎng)，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。
【基金項(xiàng)目】本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點(diǎn)規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)智性學(xué)習(xí)研究”（批準(zhǔn)號(hào)：B-b/2013/02/352）的研究成果之一。
【原文出處】《小學(xué)教學(xué)研究》：理論版（南昌），2015.1.51～53
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