讓智慧在疑趣中應然而生
——“倒推”策略的教學預設與思考
江蘇省啟東實驗小學 季國棟
策略是一個“好念頭”，是一種特殊的智慧。倒推策略的教學就是要讓學生能根據(jù)解決實際問題的需要，確定合理的解題思路，恰當選擇“倒過來推想”進行有條理的思考，在有效解決問題的過程中，提升對策略的認識，并形成策略意識。形成這樣一種智慧并非易事，而且兒童的策略處于形成的初步階段，需要教師給予清晰的指導，更需要與兒童相適切的學習課堂。
小學數(shù)學并不是純粹的科學數(shù)學，是具有現(xiàn)實數(shù)學、經驗數(shù)學和生活數(shù)學的性質。板著面孔、與枯燥寂寞相伴的數(shù)學難以走進孩子的心靈。在生動有趣的課上，在爭論富有吸引力的問題時，學生覺得時間過得很快，思維活動開始后不再需要意志的努力，不受外界干擾而進行積極主動的思維。新修訂的課程標準對于趣意和思維的強調也是非常明顯的。
因而，基于兒童現(xiàn)實與學科特點，讓學生在疑趣中形成策略，擁有智慧是一種較好的選擇。這適切的學習課堂既要關注學生的思維，也要兼顧學習的趣意，既注重“疑”，又關注“趣”，疑中有趣，趣中生疑，由疑生思，由思得趣，讓疑趣立體交融，相得益彰?！耙伞敝赶蛑腔?，思維永遠是從問題開始的；“趣”指向快樂，愉悅永遠是和趣意相連的。吳正憲老師提出讓兒童享受“好吃又有營養(yǎng)”的數(shù)學，或許，“由疑生思”恰是“有營養(yǎng)”，“由思得趣”恰是“好吃”。
教學過程：
一、萌發(fā)策略
1.簡單中的深刻：呈現(xiàn)“小貓釣魚”。
2.交流：可以從魚找貓，也可以從貓找魚。
3.感悟：在順著找麻煩時，倒著找或許更能準確、便捷。
【思考：這“趣”，是悟之以理趣，突出的是鞭辟入里、洞悉幽微的理趣，讓學生覺得“有味道”?！耙粋€新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分，甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上！”顯然，我們要讓學生在精致化的生活經驗中，循著感性中的淺白之理，向著數(shù)學的理性認識邁進，生成數(shù)學理性知識。雖是成人不足為奇的一張圖畫，卻是學生喜聞樂見的經典建模之基。】
二、形成策略
（一）引出策略：一個量的變化
1.初步表征問題
（1）故事：《秀才請客》
古時候有位秀才過生日請客。到了時間，有些客人還沒來，便急著說：“怎么搞的，該來的不來？”來的客人心想：“那我們是不該來的？”有一半的客人給氣走了。秀才一看，越發(fā)著急了，便說：“不該走的怎么走了呢？”剩下的客人又想：“我們這些沒走的倒應該走了？”又氣走了十位客人。這時，秀才自言自語道：“我說的又不是他們?！边@下，又有一半客人走了，結果只剩下兩位。
（2）提出問題：原來已經來了幾位客人？
（3）合理建議：復雜過程需要先順著整理。
（4）學生獨立解答，再交流。
（5）明確：倒著推想不僅僅在思考方向上從結果倒推至原來，而且還要運用加與減、乘與除之間的關系，倒過來算。
【思考：這“趣”，是動之以情趣，突出的是雅俗有致，妙趣橫生的情趣，讓學生覺得“有意思”。 數(shù)學知識來源于生活，許多內容都能在生活中找到相對應的原型。一些不易理解的理性認識，如果學生聽不明白，不應該喋喋不休地從理性的角度反復講，而應該尋找貼切的例子，運用富有情趣的事理向學生闡釋?！?/span>
2.回顧揭示策略
（1）回顧過程：簡單的可以直接倒推，復雜的可以先順著整理，再倒著推想。
（2）揭示課題：這種倒著推想的方法也是一種解決問題的策略。我們把這種策略叫“倒推”，有時也叫“還原”。（板書：倒推）
【思考：探尋數(shù)學知識是需要研究方法的。往前走一段，再回過來看一看，或許就能真切地發(fā)現(xiàn)自己已有的收獲，而這一點往往容易被忽視。如同柏拉圖所說，我們后來所獲得的東西，總是在先前已為我們所擁有?！?/span>
3.反復表征問題
（1）交換故事中的兩個情境，學生再次表征問題并尋求答案。
（2）思考：都是有兩次走了一半，一次走了10位，為何原來的客人人數(shù)不同？
（3）交流：倒推時順序一變，最開始的那個數(shù)也就不同。
（4）注意：不管是順著整理，還是倒著推想，都要有序進行。（板書：有序）
【思考：這“疑”，是生疑，強調的是讓學生引發(fā)認知沖突，產生疑惑，在矛盾和困惑中，產生探究欲望。關注并充分認識學生的認知起點，合理設疑，讓學生在疑惑中產生沖突，感悟到不管是順著整理，還是倒著推想，都是有序進行的，在倒推策略中有條理的思考是很重要的?！?/span>
（二）積累策略：兩個量的變化
1.出示：兩杯酒共400毫升，如果甲杯倒入乙杯40毫升，現(xiàn)在兩杯酒同樣多。
甲 |
乙 |
兩杯酒共400毫升 |
乙 |
現(xiàn)在兩杯酒同樣多 |
甲 |
甲杯倒入乙杯40毫升 |
2.提出問題：原來兩杯各有多少毫升？
3.學生解答并交流。
4.發(fā)現(xiàn)：整理信息的形式可以是多樣的；解決問題的策略也是靈活的；比較中突出倒推的價值。
【思考：這“疑”，是釋疑，強調的是讓學生經歷由困惑到明了的過程，在認知失衡后實現(xiàn)順應，達到新的平衡。策略的學習不是一蹴而就的，也不是簡單的“搭積木”的過程，而是一個生態(tài)式“孕育”的過程。準確把握數(shù)學學習的起點，促使學生在自身已有的基礎上去探求新知，無疑是促進學生持續(xù)發(fā)展、凸顯教學本質的前提。利用故事大背景，秀才請留下的兩位客人喝酒，從酒量的不等到均分，由原來一個量的變化延伸到兩個量的同時變化?！?/span>
三、提煉策略
1.辨析：什么問題適合用“倒推”策略解決？
-30 |
×2 |
下面哪個問題適合用“倒推”的策略解決，為什么？
-30 |
×2 |
1. 20 （ ） （ ）
2．（ ） （ ） 20
3.一杯果汁200毫升，先喝掉60毫升，又加入40毫升，現(xiàn)有果汁多少毫升？
4.一杯果汁，先喝掉60毫升，又加入40毫升，現(xiàn)有果汁200毫升，原有果汁多少毫升？
2.明晰：已知原來求現(xiàn)在，順著變化過程想就行了；已知現(xiàn)在求原來，就要用倒推的策略解答。
【思考：這“疑”，是質疑，強調的是鼓勵和啟發(fā)學生提出問題，在主動質疑、相互交流中掌握知識，學會思維，發(fā)展智力。幫助學生把握解決問題的思考路徑和基本解題模式，從而有效促進策略的凝煉，建構起模型。當學生能夠主動辨析問題的特點，從多種方法中靈活、快速地篩選出合適的方法來解決問題時，我們才能說學生具有了策略意識。通過質疑、比較、反思來提煉策略，可以促使學生形成策略意識?！?/span>
四、運用策略
小明的生活：
1.時間問題：小明穿衣要2分鐘，刷牙洗臉要3分鐘，吃早飯要10分鐘，步行到校要15分鐘。如果要在早上8時到校，那么小明最遲在什么時候起床？
2.路線問題：小明從家去上學，先向東走到大橋，然后向東南走到桃園，再向東走到學校。小明放學回家走的路線是怎樣的呢？
3.集郵問題：小明和小華、小紅都是集郵愛好者。他們共有郵票120張，小明送給小華13張，小華又送給小紅25張，結果他們郵票的張數(shù)同樣多。他們原來各有多少張郵票？
【思考：這“趣”，是曉之以用趣。突出的是獨辟溪徑、促思礪智的用趣，讓學生覺得“有成就”。問題解決與問題提出之間有著重要的聯(lián)系。如果說問題的提出是為問題解決服務的；那么，問題的解決顯然也是直接涉及問題提出的主題：“你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？”有意識地多層次、多角度安排，使學生在運用知識感覺有成就的同時，也充分感受到這種用趣：時間問題是倒推策略在日常生活中的典型運用；路線問題是學生曾經接觸過的知識，將策略與舊知相融通；集郵問題是將變化的量進一步拓展，延伸至三個量的同時變化。】
五、課堂總結
談話：通過本課的學習，你有哪些收獲或感受？
總結：大家一定非常深刻地體會到有些問題的解決順著想比較麻煩，需要倒推的策略，無論是順推還是逆推，有條理的思考都是十分重要的。也明白了整理信息的形式是多樣的，解決問題的策略也是各異的，關鍵在于我們靈活、綜合運用。
總體思考：
通過實踐，對倒推策略的教學有了更深刻的理解和感悟：
1.教學要建立在學生經驗之上、趣意之中。
首都師范大學的王尚志教授說，數(shù)學要講邏輯推理，更要講道理。不滿足于僅僅讓學生知道是什么，還要深入地理解為什么會這樣。數(shù)學上的智慧，恰恰是數(shù)學最具有思想魅力之處。
在策略教學中，學生往往知道“是什么”，也知道“怎樣做”，但是在“是什么”和“怎樣做”之間的橋梁卻是缺失的，那就是：如何想到要采用這種策略去解答問題。而且，策略的學習也必須根源于學生的需要，唯有需求才能引發(fā)策略的意愿。因此，在解決問題策略的教學中，首先要誘發(fā)學生對解決問題策略學習的心理需求，誘發(fā)了這個心理需求，就找到了撬動學生思維的支點。
這一誘發(fā)的觸點就應該是學生過去的經驗和已有的知識，而這無處不在。既可以在解決高難度的數(shù)學問題中，也可以在日常生活中，還可以在兒童喜聞樂見的游戲和活動中。比如課中的“小貓釣魚”便是如此。教育家夸美紐斯說：“提供一種既令人愉快又有用的東西，當學生們思想經過這樣的準備之后，他們就會以極大的注意力去學習?！边@份“準備”不僅是在情感和興趣上的，如果“準備”中還蘊含所教內容的深層次聯(lián)系，為后面的學習埋下伏筆，那就有了理性的意味。
策略形成的過程也是必須讓學生自己經歷、自己體驗和感悟的。教學中應當著意于把學習的趣味與兒童的感受結合起來。真正的趣意是個人化的，需要自己判斷、自己感受，是一種體驗，而且是兒童的體驗，是兒童學習數(shù)學的體驗，在學習中需要釋放這種體驗。因此，將倒推策略蘊含在有趣的故事《秀才請客》之中，實現(xiàn)二者和諧相融。數(shù)學教師不是創(chuàng)造新的數(shù)學概念，而是創(chuàng)造兒童對數(shù)學概念的理解，數(shù)學中越是抽象理性的內涵，越需要我們轉化為恰當貼切的直觀形象。
2.教學要準確把握學生學習的最大困難在于表征問題。
表征問題是為了“好念頭”，也就是策略的出現(xiàn)做準備。舍費爾德曾從教學的角度對如何搞好解題策略的教學提出了一些具體意見，其中第一點就是：使隱含的過程明朗化。因此，面對如此復雜的故事過程，學生根據(jù)游戲獲得的經驗，自然想到需要把故事情節(jié)“數(shù)學化”，用符號簡潔地抽象整個過程，要“從整體里把特殊的細節(jié)挑出來”。而“挑出來”可以如波利亞所說的弄清問題可以畫張圖，引入適當?shù)姆枴Ｐ畔⒓庸だ碚撜J為，有了正確的表征，問題就已經解決了一半。布魯納更是直接說：“學習的重點不在于記憶，而在于編碼。”表征（編碼）的重要性在“倒推”的教學中表現(xiàn)得尤為突出。
心理學家梅耶認為，小學生的策略發(fā)展處于過渡時期，雖然已經自發(fā)地掌握了一些策略，但尚不能有效地運用這些策略，在倒推策略學習中，學生最大的困難就在于表征問題，需要成人給予策略上清晰的指導。因此，策略教學時，如果只顧學生的意愿，或許在出現(xiàn)許多個性化的表征問題的方式中也能將問題解答，但是，往往是注意不到表征問題的要點，基礎好的學生只學了基礎，停留于原來的認知層面，基礎差的學生卻只能無所適從。因此，教師在學生表征問題時，要準確監(jiān)控，注重反饋，及時給予引導，選擇既合適又簡潔的形式。當學生樂于并有能力表征這些要追溯起始狀態(tài)的問題時，計算已是水到渠成的事。
3.教學要讓學生在適當?shù)囊?guī)范中擁有更好的個性發(fā)展。
盡管解決問題策略的學習在一定程度上可以說是一個規(guī)范性的過程，但是，這種規(guī)范性的活動不是為了束縛人們的思想；恰恰相反，我們應當通過適當?shù)囊?guī)范來促進學生個性能力的充分發(fā)展。
策略的教學并不是孤立的，而是互相聯(lián)系、互為補充的。不能為了基本的鞏固和內化策略，過于注重當下，只求所教策略的單一使用，局限于教材所提供的問題。對于解題策略的認識和鞏固而言，單一模仿是十分必要的，也是無可厚非的，但更為重要的是，不能“為教策略而教策略”，應在單獨使用的基礎上融會貫通。面對“秀才請客”的問題時，有的學生用倒推的策略，也有學生用方程來解決，教師引導學生在比較中體會倒推是倒過來推想，而方程則是順著想；面對“兩杯酒”的問題，有的學生用倒推策略，也有學生利用和差關系來解決，教師引導學生在比較中發(fā)現(xiàn)，“兩杯酒”的問題用倒推更易于理解，體現(xiàn)特定的策略價值；面對問題表征時，有的學生選擇箭頭和符號，有的學生選擇畫線段圖，也有學生選擇列表格整理信息，教師引導學生從中明白不管采用何種表征形式都是為了把題意理清楚，我們才能更快、更有效地解決問題。
羅增儒教授在《數(shù)學解題引論》中指出：任何數(shù)學問題的結構都有共性和個性兩個方面。由共性出發(fā)，我們可以設法找出處理這一類問題的更高觀點或統(tǒng)一原理；而由個性出發(fā)，我們又可以找出解決這一道特定題目的特殊技巧。這兩方面的思考，是優(yōu)美解的重要源泉。因此，要用聯(lián)系的、多元的、復合的視角進行問題設計，比如“小明的生活”。學生在解決問題中將更能感受到策略的力量，更好地發(fā)展思維、改善思維，提高靈活解決問題的能力。學生的思維由特殊走向一般，智慧也就應然而生。
本文發(fā)表于《江蘇教育》