“乘法分配律”數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)
江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué) 陳金飛
數(shù)學(xué)模型，一般是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)和圖形等形式來(lái)刻畫(huà)、描述、反映特定的問(wèn)題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。乘法分配律的教學(xué)，很多的教師從其外形特征出發(fā)，出示4～6個(gè)符合乘法分配律特征的等式，引導(dǎo)學(xué)生觀察等式，通過(guò)找出它們的相同點(diǎn)，用不完全歸納法抽象出等式模型：(a+b) ×c = a×c +b×c。這樣的教學(xué)過(guò)程，只注重外形記憶，輕視本質(zhì)理解，因而學(xué)生容易受交換律、結(jié)合律的影響，產(chǎn)生思維定勢(shì)，出現(xiàn)類似a×(b＋c)=a×b＋c的錯(cuò)誤，學(xué)生知其然，而不知其所以然。 只有從乘法分配律的本質(zhì)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程進(jìn)行分析與解構(gòu)，并自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，才能豐富和深化對(duì)乘法分配律的認(rèn)知，有效實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的過(guò)渡與演變，在充分感悟的過(guò)程中，真正意義上實(shí)現(xiàn)對(duì)“分配”本質(zhì)的深刻理解。
一、探究現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，初步感知數(shù)學(xué)模型
出示主題圖：
圖1
師：從圖上你看到了什么？能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？
生1：我看到了工人師傅在墻上貼瓷磚，左面墻上已經(jīng)貼了9行瓷磚，每行4塊。右面墻上也貼了9行瓷磚，每行6塊。
生2：左面墻上一共有多少塊瓷磚？右面墻上一共有多少塊瓷磚？
生3：兩面墻拼起來(lái)一共有多少塊瓷磚？兩面墻相差多少塊瓷磚？
師：面對(duì)一個(gè)情境，大家能從不同的角度提出問(wèn)題，真能干。我們先一起研究：兩面墻上一共貼了多少塊瓷磚？該怎么解決呢？請(qǐng)獨(dú)立思考，再匯報(bào)交流。
學(xué)生匯報(bào)。
生1：4×9+6×9=90（塊）。4×9求的是左面墻上瓷磚的塊數(shù)，6×9求到的是右面墻上瓷磚的塊數(shù)，加起來(lái)，就求到了瓷磚的總塊數(shù)。
生2：（4+6）×9=90（塊）。4+6求到的是把兩面墻拼在一起一行有多少塊，再乘9求到9行一共有多少塊。
師：仔細(xì)觀察這兩個(gè)算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生：我發(fā)現(xiàn)兩種方法算到的瓷磚塊數(shù)相等。
師：所以，我們可以用等號(hào)把它們連起來(lái)。
板書(shū)：（4+6）×9=4×9+6×9
思考：數(shù)學(xué)源于生活。從生活中的實(shí)際例子，讓學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)模型源于生活，并且是他們“獨(dú)到的發(fā)現(xiàn)”，更有利于激發(fā)學(xué)生探究的興趣。圖形的出示，既是探究、建立數(shù)學(xué)模型的顯性依據(jù)，同時(shí)，對(duì)于研究、建立“乘法分配律”模型也更有直觀的說(shuō)服力。
二、提供充足時(shí)空，深入理解數(shù)學(xué)模型
師：兩個(gè)不同的算式，結(jié)果卻相等，你知道其中的奧秘嗎？結(jié)合圖形說(shuō)說(shuō)你的想法。
課件展示圖形動(dòng)態(tài)變化，學(xué)生根據(jù)圖形作出解釋。（如圖2）
圖2
生1：豎著看，一列有9塊瓷磚，共4+6=10列，表示10個(gè)9相加。4×9+6×9是4個(gè)9加6個(gè)9，也是10個(gè)9相加，所以結(jié)果相等。
生2：如果橫著觀察，一行有1個(gè)4和1個(gè)6相配,9行是9個(gè)4和6的和，（4+6）×9是9個(gè)（4+6），4×9+6×9是9個(gè)4加9個(gè)6，也是9個(gè)（4+6），結(jié)果相等。
師：看來(lái)不管是豎著觀察，還是橫著觀察，用乘法的意義都能解釋為什么這兩個(gè)式子存在相等關(guān)系。想一想，還有其他的分拆方法嗎？換一種拆分的方法，是否也存在等式？自己動(dòng)手分一分，寫(xiě)出相應(yīng)的等式，在小組里交流。
生1：我們是豎分的，又得到了四種分法，等式分別是：（1+9）×9=1×9+9×9；（2+8）×9=2×9+8×9；（3+7）×9=3×9+7×9；（5+5）×9=5×9+5×9。
生2：我們是橫分的，得到四種不同分法，等式分別是：（1+8）×10=1×10+8×10；（2+7）×10=2×10+7×10；（3+6）×10=3×10+6×10；（4+5）×10=4×10+5×10。
充分展開(kāi)學(xué)生的思維過(guò)程，把模型的建構(gòu)建立在富足的經(jīng)驗(yàn)積累與數(shù)學(xué)理解之上，就為學(xué)生真正把握模型內(nèi)涵、數(shù)學(xué)本質(zhì)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。深入的探究，多層面的舉例，為學(xué)生探索規(guī)律，建構(gòu)模型提供了思維路徑。
三、抽象形成規(guī)律，建構(gòu)完善數(shù)學(xué)模型
師：觀察這些等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：這些算式都可以合起來(lái)算，也可以分開(kāi)算，無(wú)論是合起來(lái)算，還是分開(kāi)算，得數(shù)一樣。
生2：兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，可以用這兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變。
生3：可以用字母表達(dá)： (a+b) ×c = a×c +b×c
師：你太厲害了，把這些等式的共同特征都用字母表達(dá)出來(lái)了。這個(gè)規(guī)律是偶然的巧合還是必然的規(guī)律？
生1：我們可以借助剛才的長(zhǎng)方形圖來(lái)解釋，兩個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分別是a、b，寬是c，那么大長(zhǎng)方形的面積可以用(a+b) ×c表示，也可以用a×c +b×c來(lái)表示，所以(a+b) ×c = a×c +b×c。（如圖3）
圖3
師：同學(xué)們真了不起，大家通過(guò)努力，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)上一個(gè)重要的運(yùn)算定律——乘法分配律。
由具體實(shí)例抽象、上升為字母公式，由松散的個(gè)例上升為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論，經(jīng)過(guò)不完全歸納，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下有效地建構(gòu)出解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型----乘法分配律，看似輕而易舉，實(shí)則前面的鋪墊探究功不可沒(méi)。
四、拓展知識(shí)結(jié)構(gòu)，內(nèi)化提升數(shù)學(xué)模型
建構(gòu)“乘法分配律”數(shù)學(xué)模型的意義不僅僅是掌握其外在的、顯性的公式，更重要的在于如何把這種數(shù)學(xué)模型深深地建構(gòu)在學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，當(dāng)需要時(shí)，即可將這個(gè)模型用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。因此，實(shí)際教學(xué)中，有必要引導(dǎo)學(xué)生在基本模型的基礎(chǔ)上，對(duì)規(guī)律進(jìn)行合理的聯(lián)想和必要的拓展與深化，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：乘法對(duì)減法有分配律嗎？多個(gè)數(shù)的和乘同一個(gè)數(shù)還存在乘法分配律嗎？讓原來(lái)的模型再次生長(zhǎng)，豐富和深化學(xué)生對(duì)乘法分配律內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)。
師：像（a+b）×c=a×c+b×c這樣的等式我們可以看作是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。如果要求“兩面墻上的瓷磚相差多少塊？”，能依照剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，也來(lái)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型嗎？
生1：可以列出兩個(gè)式子6×9-4×9和（6-4）×9，這兩個(gè)式子的結(jié)果也相等。如果再舉兩個(gè)例子，也可以發(fā)現(xiàn)也有這樣相等的規(guī)律，所以可以用字母表示：（a-b）×c=a×c-b×c。
生2：對(duì)于這個(gè)數(shù)學(xué)模型，我也可以用乘法的意義來(lái)解釋，（a-b）個(gè)c等于a個(gè)c減b個(gè)c。
師：如果讓圖5繼續(xù)生長(zhǎng)（如圖4），能否用字母來(lái)表示：你新的猜想？
圖4
生：(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d
從乘法分配律的基本等式模型拓展至（a-b）×c=a×c-b×c、(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d的等式模型，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一次飛躍。由此，在掌握基本模型的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步拓展成(a+b+c+d+…) ×e = a×e+b×e+c×e+d×e+…×e，至此，將數(shù)學(xué)模型的探究過(guò)程上升完善至一個(gè)數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的建構(gòu)。
【作者簡(jiǎn)介】陳金飛，江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)（226200）.
【基金項(xiàng)目】小學(xué)數(shù)學(xué)智性學(xué)習(xí)研究（江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點(diǎn)規(guī)劃課題，編號(hào)B/b201302352）.
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【原文出處】《教學(xué)與管理》（小學(xué)版），2015.2.43～44