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抓知識的系統(tǒng)變構(gòu)  促思維的深刻靈動

啟東小學(xué)數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村骨干教師培育站 學(xué)員交流文章

［摘要］如今思維過于淺表化、機構(gòu)性記憶式學(xué)習(xí)等，在小學(xué)生的學(xué)習(xí)中依然較為突出?；谧儤?gòu)學(xué)習(xí)理論，從學(xué)會辨析比較概念-數(shù)學(xué)概念的變構(gòu)、揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律-解題策略的變構(gòu)、感悟數(shù)學(xué)思想方法-思維方式的變構(gòu)這三個方面，探究如何抓住數(shù)學(xué)知識的變構(gòu)點進行有效的教學(xué)設(shè)計，以此促進學(xué)生的思維品質(zhì)不斷深刻。

［關(guān)鍵詞］變構(gòu)點；數(shù)學(xué)思維；深刻性

變構(gòu)學(xué)習(xí)理論是學(xué)習(xí)科學(xué)的產(chǎn)物，它認為學(xué)習(xí)是基于結(jié)構(gòu)上的解構(gòu)與建構(gòu)并進的知識煉制的過程，涉及三個不可忽視的方面：結(jié)構(gòu)-解構(gòu)-（重）建構(gòu)。[i]在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，思維品質(zhì)過于表淺化的問題普遍存在，具體表現(xiàn)在對于數(shù)學(xué)概念的認識非常膚淺，無法掌握概念的本質(zhì)；死記硬背公式定律，遇到難題不會調(diào)動合適的解題策略去思考；存在思維定式，對于知識的理解不深刻，停留在簡單地記憶信息階段，這與教學(xué)中忽視學(xué)生在原有概念基礎(chǔ)上的解構(gòu)與再建構(gòu)教學(xué)有很大關(guān)系。在實際的教學(xué)中，充分認識變構(gòu)學(xué)習(xí)的重要意義并切實進行有效實踐，對于小學(xué)高段數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的理論意義，同時為促進有效學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)深刻性提供了有益的途徑。

一、數(shù)學(xué)概念的變構(gòu)：在辨析比較中凸顯本真

1.數(shù)學(xué)概念從“內(nèi)隱”邁向“外顯”

概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的一種思維形式，教師如果向?qū)W生直接灌輸概念的正確定義，學(xué)生只能接觸到概念的表象，在運用概念解決問題時就會遇到困難。數(shù)學(xué)概念有其內(nèi)隱性，學(xué)生只有接觸到了概念的本質(zhì)特征，才能真正地理解并掌握概念。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為概念是一種思考方式，它不是通過教師向?qū)W生單向傳遞而得到的，需要學(xué)生主動地調(diào)用自己的概念系統(tǒng)使之活化。學(xué)生的前概念是學(xué)生理解新概念的基礎(chǔ)，但也有可能成為教師教學(xué)的障礙，教師在進行教學(xué)之前就應(yīng)該查明這點，利用學(xué)生的前概念設(shè)計有效的教學(xué)活動打破這層障礙。

2.概念教學(xué)從“結(jié)論”趨向“過程”

數(shù)學(xué)概念是在感知的基礎(chǔ)上，通過比較事物屬性的異同，最后抽象而成的，因此數(shù)學(xué)概念是抽象的結(jié)果。學(xué)生由于知識經(jīng)驗和心智模型不夠完善，如果不經(jīng)歷概念的形成過程，是很難理解概念的本質(zhì)的。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為設(shè)置“對質(zhì)”的問題情境能誘發(fā)學(xué)生概念系統(tǒng)失衡，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，借此教師再帶領(lǐng)學(xué)生分析概念的形成過程，就能理清概念的內(nèi)涵和外延，深入培養(yǎng)學(xué)生的深刻性思維品質(zhì)。

3.概念結(jié)構(gòu)從“建構(gòu)”走向“重構(gòu)”

數(shù)學(xué)概念不是單獨存在的，它一定和學(xué)生已有的概念有所關(guān)聯(lián)。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為學(xué)生不是一張白紙進入課堂學(xué)習(xí)的，他們的頭腦中有著自己的認知結(jié)構(gòu)，學(xué)生學(xué)習(xí)新知時會自主地調(diào)用它們。要想新的知識成功“落戶”，必須解構(gòu)已有的概念網(wǎng)絡(luò)，對新知和舊知進行結(jié)構(gòu)上的重建，從而形成新的穩(wěn)固的概念結(jié)構(gòu)，在解構(gòu)-建構(gòu)不斷交替進行的過程中促進思維品質(zhì)的深刻性。

例如有限小數(shù)、無限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)的教學(xué)，這一部分在蘇教版教材中并未放在一個單獨的章節(jié)里學(xué)習(xí)，而是作為小數(shù)除法中商的近似值這一部分的閱讀素材：“你知道嗎？”中出現(xiàn)的。如果只是讓學(xué)生直接閱讀或教師講解這三種概念的異同，學(xué)生能獲得對于概念的初步認識，但這時候他們只是接觸到了概念的表象，并沒有體會概念實質(zhì)的形成過程，學(xué)生的深刻性思維品質(zhì)也得不到發(fā)展。因此教師首先要理清學(xué)生已有的概念結(jié)構(gòu)。在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)，而接觸到的小數(shù)位數(shù)都是有限的，即使遇到除不盡的情況，題目也會要求保留兩位小數(shù)，因此學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容最大的障礙是理解“無限”和“循環(huán)”，要讓學(xué)生解構(gòu)原來小數(shù)位數(shù)都是有限的思想，重新建構(gòu)起小數(shù)的概念系統(tǒng)。

在課堂上先讓學(xué)生計算“14÷16”和“5÷3”，引發(fā)學(xué)生概念系統(tǒng)失衡，5÷3怎么也除不盡，得到的小數(shù)跟之前學(xué)習(xí)的不一樣。讓他們通過列豎式計算的過程，深刻感受每一位商是怎么來的，為什么前者的商小數(shù)部分是有限的，后者的商小數(shù)部分是無限的，尤其是觀察后者為什么會發(fā)生循環(huán)。之后再計算“14÷37”和“25÷22”，感受循環(huán)小數(shù)不同的樣式。學(xué)生經(jīng)歷了有限小數(shù)、無限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)的形成過程，對概念的內(nèi)涵有了更本質(zhì)的理解。

之后要及時安排一些對比的題目，在辨析中讓他們明白區(qū)分有限小數(shù)和無限小數(shù)的本質(zhì)是小數(shù)部分的位數(shù)是否有限，在辨析中更深層次地建構(gòu)起無限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)之間的關(guān)系：循環(huán)小數(shù)一定是無限小數(shù)，而無限小數(shù)不一定是循環(huán)小數(shù)。至此，學(xué)生建構(gòu)起了新的關(guān)于數(shù)的概念結(jié)構(gòu)，這種重視概念的形成過程，辨析概念、理清其內(nèi)涵和外延的過程，也是深入培養(yǎng)深刻性思維品質(zhì)的過程。

二、解題策略的變構(gòu)：深入數(shù)學(xué)的內(nèi)在核心

1. 揭示策略需要煉制知識

   形成解題策略對于學(xué)生的學(xué)習(xí)水平要求較高，一個思維品質(zhì)不深刻的學(xué)生，在解題過程中往往只能看到事物的表面，找不到事物的內(nèi)在聯(lián)系，就不能系統(tǒng)地展開理解活動。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為在知識生產(chǎn)的過程中知識的煉制非常重要，煉制是建立聯(lián)系的過程，是多個維度綜合的結(jié)果。在教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生找到知識之間的聯(lián)系，還原事物的本質(zhì)和規(guī)律，在逐步揭示解題策略的過程中引發(fā)深刻性思維的產(chǎn)生。

2. 深化策略學(xué)會知識的“知識”

   授人以魚不如授人以漁，學(xué)生不僅要學(xué)會具體的知識，而且要學(xué)會如何學(xué)習(xí)知識，掌握一定的思維技能。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為一些知識之所以成為“惰性”知識，是因為學(xué)習(xí)者對知識沒有全面的了解，沒有形成良好的思維方式。[ii]在教學(xué)過程中，教師首先要讓學(xué)生確認已經(jīng)掌握的解題策略，然后對這些策略進行“后退一步”觀思，弄清楚這些策略可以應(yīng)用的領(lǐng)域，或者“追根溯源”，弄清楚策略的生產(chǎn)機制，形成系統(tǒng)地分析知識的方法，為學(xué)生更好地掌握策略提供有效的途徑。在此過程中深化解題策略，促進深刻性思維品質(zhì)的發(fā)展。

3. 鞏固策略及時進行再投資

   解題策略只有在被運用的時候才算真正被掌握，因此在教學(xué)過程中一個重要的環(huán)節(jié)就是將所學(xué)習(xí)的策略及時進行再投資。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為只有當(dāng)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)新知識的價值，并學(xué)著讓它運用起來時，這種經(jīng)歷實踐檢驗的知識才有意義。教師要精心設(shè)計練習(xí)題或操作活動，讓學(xué)生在新情境中將煉制的策略及時得到調(diào)用，成為學(xué)生永久性的知識。

   如蘇教版五年級上冊第二單元《多邊形的面積》，教師在執(zhí)教這一單元的復(fù)習(xí)課時，如果只停留在讓學(xué)生反復(fù)操練三角形、平行四邊形、梯形的面積公式的計算上，學(xué)生的思維程度始終是較淺的，教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進入更深層次的學(xué)習(xí)。這時的學(xué)生已經(jīng)對三角形、平行四邊形、梯形三種圖形的形狀特點有著明確的區(qū)分，也能熟練地運用面積公式進行計算了，也自然地以為這三種圖形的面積公式各司其職、互不相干，教師的教學(xué)設(shè)計首先得打破這層障礙。

   教師可以先出示中間兩個梯形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個梯形的形狀雖然不一樣，但是面積都相等，因為它們上底和下底之和都相等,高也相等。接著教師提問：如果上底接著縮小會變成什么圖形？上底接著擴大會變成什么圖形？面積有沒有發(fā)生變化？學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)三角形、平行四邊形、梯形之間其實是有聯(lián)系的，三角形其實可以看成上底為0的梯形，平行四邊形其實可以看成上底和下底都相等的梯形，這四個圖形都可以看成上底和下底之和為6，高為5的梯形。在這個變化過程中，學(xué)生頭腦里慢慢重新建構(gòu)了對三角形、平行四邊形、梯形的認識，在煉制新知的過程中提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的深刻性。

   接著教師再帶領(lǐng)學(xué)生回顧教材的編排順序以及三角形、平行四邊形、梯形面積的推導(dǎo)過程，思考為什么要先學(xué)習(xí)平行四邊形，再學(xué)習(xí)三角形和梯形。發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)平行四邊形的面積公式是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成同底等高的長方形（長方形的面積公式早已學(xué)過），推導(dǎo)三角形和梯形的面積公式是將它們轉(zhuǎn)化成“同底”等高的平行四邊形，面積是其一半，這三者的面積公式是有聯(lián)系的。而得出的面積公式的背后其實蘊含著一個重要的解題策略——轉(zhuǎn)化，平行四邊形是等積轉(zhuǎn)化，三角形和梯形是擴倍轉(zhuǎn)化。在“后退一步”，對知識反過來進行觀思的過程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在客觀規(guī)律的能力，進一步提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的深刻性。

   最后設(shè)置小組合作探究活動，及時地將策略進行再投資。讓學(xué)生利用一個三角形，通過剪、拼把它轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形，根據(jù)轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關(guān)系，推導(dǎo)出三角形的面積計算公式。這樣既鞏固了轉(zhuǎn)化策略，又加深了對推導(dǎo)面積計算公式原理的理解。

   三、思維方式的變構(gòu)：數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)下的思維重構(gòu)

   1.思維轉(zhuǎn)變須借助問題

   具有抽象性和邏輯性的教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生獲得深刻性數(shù)學(xué)思維品質(zhì)發(fā)展的重點，卻也是教學(xué)的難點，因為思維方式一旦在頭腦中形成，是很難被改變的。變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為問題是引發(fā)學(xué)習(xí)者展開智力活動最主要的驅(qū)動力。教師要設(shè)置好問題情境引發(fā)學(xué)生認知沖突，讓學(xué)生感受到原有的概念系統(tǒng)遇到挑戰(zhàn)，產(chǎn)生尋求新的解決途徑的迫切需求。

   2.思維轉(zhuǎn)變須倚靠參照系

   變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為學(xué)生在形成新概念時會自然地倚靠他們已經(jīng)掌握的概念系統(tǒng)，不僅指學(xué)生頭腦中的概念知識，還包括學(xué)生目前的思維方式和推理水平，這些都構(gòu)成了學(xué)生展開理解活動必不可少的參照系。教師要在教學(xué)過程中將學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生已有的參照系里的元素建立聯(lián)系，借助參照系整合新知，從而完成思維方式的轉(zhuǎn)變。

   3.思維轉(zhuǎn)變須建立新網(wǎng)絡(luò)

   變構(gòu)學(xué)習(xí)理論認為在學(xué)生的思維方式進行轉(zhuǎn)變時，他的心智結(jié)構(gòu)實際上是要進行重組的。教師要抓住這點，調(diào)動新知與舊知之間的相互作用，讓學(xué)生在解構(gòu)-建構(gòu)思維方式的過程中產(chǎn)生新的意義網(wǎng)絡(luò)，為以后的學(xué)習(xí)提供支撐，在此過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的深刻性。

   比如北師大版四年級下冊第五單元《用字母表示數(shù)》，這一教學(xué)內(nèi)容有別于學(xué)生以往的學(xué)習(xí)。因為在過往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生都是對具體數(shù)字進行計算，形成了較強的算術(shù)思維，但是“用字母表示數(shù)”涉及了更為抽象的代數(shù)思維，學(xué)生的心智運算需要從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維。[iii]尤其是解決問題時，學(xué)生頭腦中的算術(shù)思維根深蔕固，原有的算術(shù)思維是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，同時也對新的學(xué)習(xí)帶來了干擾。教師在進行教學(xué)設(shè)計時要考慮到這一點，同時注意培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，為日后學(xué)習(xí)方程打下基礎(chǔ)。

   教師可以先讓學(xué)生回憶運算律和字母公式，讓學(xué)生調(diào)用已有的知識，發(fā)現(xiàn)以前就已經(jīng)學(xué)過用字母表示任意數(shù)和計算公式了，這樣比用語言描述更簡潔明了，具有歸納概括性，讓學(xué)生在心理上接納字母。再出示數(shù)青蛙兒歌：

   1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿

   2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿

   讓學(xué)生接著說一說兒歌，在說的過程中理清兒歌里面蘊含的數(shù)量關(guān)系。接著教師提問引發(fā)學(xué)生思考：這樣往下說兒歌好像永遠也說不完，誰能想出辦法一句話終結(jié)這首兒歌？引發(fā)學(xué)生認知沖突：已有的數(shù)字已經(jīng)無法滿足需求了，需要尋求新的概念。有的學(xué)生可能會說：無數(shù)只青蛙無數(shù)張嘴，無數(shù)只眼睛無數(shù)條腿；a只青蛙a張嘴，c只眼睛d條腿……。教師可以引導(dǎo)學(xué)生提出質(zhì)疑：這樣的兒歌感覺上好像差了點，沒有說清楚數(shù)量關(guān)系。在課堂上創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生間產(chǎn)生思維的碰撞，最終形成“a只青蛙a張嘴，a×2只眼睛，a×4條腿”的共識，讓學(xué)生明白字母還可以表示數(shù)量關(guān)系。這樣一步步借助算術(shù)思維進行整合，然后轉(zhuǎn)化成新的概念體，最后引導(dǎo)學(xué)生概括出抽象的代數(shù)方法。

   接著出示問題，創(chuàng)設(shè)情境：媽媽的年齡猜不出，用字母n表示，女兒的年齡比媽媽小28歲，可以用什么來表示？（n-28），如果女兒今年4歲，媽媽今年幾歲？（32歲）。讓學(xué)生感受到字母還可以表示未知數(shù)，而這樣通過式子運算推理求得其值的數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)中特有的一種思想方法——建模思想。這樣通過創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生認知沖突，動搖已有的知識概念，自主地進行解構(gòu)--建構(gòu)新的思維方式，讓學(xué)生體驗從具體到抽象，特殊到一般的歸納變化過程，能培養(yǎng)學(xué)生抽象的邏輯思維和善于概括的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的深刻性。

   學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要的目標(biāo)就是獲得思維品質(zhì)的發(fā)展，而深刻性是判斷學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一個重要指標(biāo)。在教學(xué)過程中教師要善于抓住知識的變構(gòu)點，帶領(lǐng)學(xué)生深入學(xué)習(xí)，從而促進學(xué)生深刻性思維品質(zhì)的發(fā)展。學(xué)習(xí)是一個極其復(fù)雜的過程，教學(xué)過程也不能只按照變構(gòu)學(xué)習(xí)理論來進行一刀切，正如焦?fàn)柈?dāng)說的：我們的教學(xué)不能恪守一種方式，必須有不同的、多樣的策略，單獨用某一理論來解釋一切恐怕是徒勞的。[iv]