獨(dú)到的，才是不可替代的
——HPM視角下對“圓的面積”的思考與教學(xué)實(shí)踐
陳金飛
【摘 要】HPM研究表明，個體的認(rèn)識過程與人類認(rèn)識的過程基本是一致的。在“圓的面積”的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以把教材中呈現(xiàn)的素材以知識發(fā)生、發(fā)展過程的視角進(jìn)行合理重組，放大“無限分割、化曲為直”極限思想的首次獲得過程，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，獲得數(shù)學(xué)感悟。
【關(guān)鍵詞】HPM；圓面積；無限分割；化曲為直
一、課前慎思
我們選擇“圓的面積”的教學(xué)作為HPM研究的案例，不僅因?yàn)閳A是小學(xué)階段唯一的曲線平面圖形，更在于人類對“圓的面積”的探索曾被認(rèn)為是理性追求的巔峰。
翻開數(shù)學(xué)史可以看到，隨著生產(chǎn)勞動的需要，人類很早就開始探索平面圖形的面積計(jì)算方法。在古希臘，人們最先發(fā)現(xiàn)正方形的面積計(jì)算公式。由此想到，既然正方形的面積可以用公式計(jì)算，那么只要做出一個正方形，使它的面積恰好等于圓的面積，就能實(shí)現(xiàn)“化圓為方”。著名辯士、詩人安提豐首創(chuàng)圓內(nèi)接正多邊形的方法來解決“化圓為方”問題。數(shù)學(xué)家阿基米德分別用邊數(shù)不斷增多的圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形逼近圓的周長，給出了圓的面積計(jì)算公式：圓的面積等于以圓周長為底，半徑為高的三角形的面積。
阿基米德提出的圓的面積計(jì)算辦法，相當(dāng)于我國漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“半圓半徑相乘，得積步”，即圓的面積等于半圓的周長乘半徑。我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，得到一個正6×2n邊形序列（n=0、1、2……），所得正多邊形面積越來越接近圓的面積。而古印度數(shù)學(xué)家把圓切成許多小瓣，把這些小瓣對接成一個近似平行四邊形，再通過分割平移將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個近似的長方形，用近似長方形的面積代替圓的面積。
17世紀(jì)，德國天文學(xué)家開普勒受切西瓜的啟發(fā)，提出把圓分割成無窮多個小扇形，他認(rèn)為每個小扇形面積對應(yīng)一個小三角形的面積，圓的面積等于無窮多個小三角形面積之和，將這些小三角形等面積變形，最后，構(gòu)成了一個大直角三角形，三角形的底就是圓的周長，三角形的高就是圓的半徑，從而得出圓的面積計(jì)算公式S =cr=πr2。開普勒引入無窮小概念，跨越了曲與直的直覺理解界限，使得多邊形和圓之間、無窮小面積與直線之間沒有顯著的差別。無限分割、化曲為直的獨(dú)到思想溝通了有限與無限，為極限、微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的出現(xiàn)打下了理論與實(shí)踐的基石。
梳理至此，可以發(fā)現(xiàn)早在兩千多年前，人們就已經(jīng)掌握了圓的面積計(jì)算方法，不斷變化的是圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法——從有限分割到無限分割，再到利用定積分的方法。在歷史長河中，在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的大背景中，看清“無限分割、化曲為直”才是對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最具有價(jià)值的，也是我們最應(yīng)該在教學(xué)中孕伏的。
思考至此，新的教學(xué)思路便躍然紙上了。
二、教學(xué)片斷
1.呈現(xiàn)數(shù)學(xué)困境，引發(fā)矛盾，積蓄思維突破能量。
師：打算用什么方法研究圓的面積？
生：我覺得應(yīng)該用轉(zhuǎn)化，如果用數(shù)方格的方法，會有一些方格直接露在外面，不能精確地計(jì)算圓的面積。
師：通過比較，我們發(fā)現(xiàn)如果圓的邊線變直了，測量就更方便、精確了。明白了這一點(diǎn)，接下來咱們就來想辦法把曲線變成直線吧。（板書：化曲為直）
師：有什么辦法可以把圓這個曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形呢？
（四人小組一起動手操作，展示交流。）
師：這么多種轉(zhuǎn)化方法，你覺得可以分成幾類？
生：兩類，一類是折的，一類是剪了再拼。
師：觀察這幾種折的方法，你有什么想法？
生：不能折成正方形，把彎曲的部分折掉了。
師：嗯，這種方法不行，面積變小了。再來看另外兩種折法，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：折著折著，弧度就有點(diǎn)變直了。
生：折得份數(shù)越多，底邊越平直。
師：真善于觀察！采訪一下折成八份的這位同學(xué)，為什么不繼續(xù)往下折了？
生：紙?zhí)窳?，很難繼續(xù)折下去了。
師：看來光用折的方法不能實(shí)現(xiàn)化曲為直。再來觀察剪拼的圖形，你有什么想法？
生：正方形不行，這個圖形變大了。
師：看來轉(zhuǎn)化時不能增加也不能減少圖形的面積。觀察剪拼成的近似平行四邊形，與折出來的圖形相比，有什么不足？
生：底邊不平，弧線太彎了。
師：是否可以讓底邊變得平直一些？
生：分割的份數(shù)多一些，拼出的圖形底邊可能會更直一些。
2．感悟數(shù)學(xué)思想，分割轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)極限思想飛躍。
師：事實(shí)真的如此嗎？借助電腦幫忙。
（多媒體展示將圓分割成一個個小扇形的過程）
師：發(fā)揮我們的想象力，如果繼續(xù)往下分，最后會分出一個怎樣的圖形呢？
生：我覺得會變成一個很小的三角形。
生：說不定那個三角形就沒有了。
生：不可能沒有，我覺得最后會變成一根線。
師：你的想象力真強(qiáng)，跟古代數(shù)學(xué)家的想法不謀而合。看來我們繼續(xù)把圓分割下去，拼出的圖形底邊會變得更直。
師：讓我們閉上眼睛想象一下，如果無限分割這個圓片，最后會拼出一個怎樣的圖形呢？
師：孩子們，通過無限分割，我們居然把圓轉(zhuǎn)化成了一個長方形，實(shí)現(xiàn)了“化曲為直”。這個思想在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是具有開創(chuàng)性意義的。
（由長方形的面積計(jì)算公式推算出圓的面積計(jì)算公式。）
三、教后暢想
課堂中，教師讓學(xué)生在觀察“有限分割”的基礎(chǔ)上想象“無限分割”，根據(jù)拼成的幾個圖形的變化趨勢想象它們的終極狀態(tài)，從而領(lǐng)會：將圓無限分割后可以拼成一個長方形。無形中給課堂注入了數(shù)學(xué)的深刻和歷史的厚重，敦促學(xué)生自覺糾正了“把彎曲的剪掉才能變直”的直觀經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生站在微積分的門檻上，真切地感悟數(shù)學(xué)思想的魅力。
我們主要用“有機(jī)滲透、反復(fù)感悟”的辦法，組織學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、積淀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。從推導(dǎo)平行四邊形面積計(jì)算方法時，就開始提“轉(zhuǎn)化”；推導(dǎo)三角形和梯形的面積計(jì)算方法時，又講“轉(zhuǎn)化”；推導(dǎo)圓面積的計(jì)算方法時，還是毫無變化地繼續(xù)提“轉(zhuǎn)化”嗎？一個數(shù)學(xué)思想猶如一個萬花筒，即便還是它，但稍一變化，就能呈現(xiàn)出不一樣的要點(diǎn)與價(jià)值。因此，我們需要結(jié)合數(shù)學(xué)思想在不同知識技能形成與運(yùn)用的過程中展示出的獨(dú)到價(jià)值，把它挖掘出來并放大呈現(xiàn)，這樣，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的感悟便會豐滿起來。
對于藝術(shù)來說，民族的，才是世界的；對于知識來說，獨(dú)到的，才是不可替代的。
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﹡本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“數(shù)學(xué)史視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例研究”（批準(zhǔn)號：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。
作者簡介：陳金飛，江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇啟東，226200）副校長，高級教師，南通市學(xué)科帶頭人。
【原文出處】《江蘇教育》（小學(xué)版），2015.5.16～17
【作者單位】江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)，聯(lián)系地址：江蘇省啟東市人民中路720號（226200），聯(lián)系電話：15962731800，E-mail:cjxxcjf@163.com。