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抓知識的系統(tǒng)變構  促思維的深刻靈動

啟東小學數(shù)學鄉(xiāng)村骨干教師培育站 學員交流文章

［摘要］如今思維過于淺表化、機構性記憶式學習等，在小學生的學習中依然較為突出?；谧儤媽W習理論，從學會辨析比較概念-數(shù)學概念的變構、揭示事物的本質和規(guī)律-解題策略的變構、感悟數(shù)學思想方法-思維方式的變構這三個方面，探究如何抓住數(shù)學知識的變構點進行有效的教學設計，以此促進學生的思維品質不斷深刻。

［關鍵詞］變構點；數(shù)學思維；深刻性

變構學習理論是學習科學的產(chǎn)物，它認為學習是基于結構上的解構與建構并進的知識煉制的過程，涉及三個不可忽視的方面：結構-解構-（重）建構。[i]在小學數(shù)學課堂教學中，思維品質過于表淺化的問題普遍存在，具體表現(xiàn)在對于數(shù)學概念的認識非常膚淺，無法掌握概念的本質；死記硬背公式定律，遇到難題不會調(diào)動合適的解題策略去思考；存在思維定式，對于知識的理解不深刻，停留在簡單地記憶信息階段，這與教學中忽視學生在原有概念基礎上的解構與再建構教學有很大關系。在實際的教學中，充分認識變構學習的重要意義并切實進行有效實踐，對于小學高段數(shù)學教學具有很好的理論意義，同時為促進有效學習、深度學習，培養(yǎng)學生思維品質深刻性提供了有益的途徑。

一、數(shù)學概念的變構：在辨析比較中凸顯本真

1.數(shù)學概念從“內(nèi)隱”邁向“外顯”

概念是反映客觀事物本質屬性的一種思維形式，教師如果向學生直接灌輸概念的正確定義，學生只能接觸到概念的表象，在運用概念解決問題時就會遇到困難。數(shù)學概念有其內(nèi)隱性，學生只有接觸到了概念的本質特征，才能真正地理解并掌握概念。變構學習理論認為概念是一種思考方式，它不是通過教師向學生單向傳遞而得到的，需要學生主動地調(diào)用自己的概念系統(tǒng)使之活化。學生的前概念是學生理解新概念的基礎，但也有可能成為教師教學的障礙，教師在進行教學之前就應該查明這點，利用學生的前概念設計有效的教學活動打破這層障礙。

2.概念教學從“結論”趨向“過程”

數(shù)學概念是在感知的基礎上，通過比較事物屬性的異同，最后抽象而成的，因此數(shù)學概念是抽象的結果。學生由于知識經(jīng)驗和心智模型不夠完善，如果不經(jīng)歷概念的形成過程，是很難理解概念的本質的。變構學習理論認為設置“對質”的問題情境能誘發(fā)學生概念系統(tǒng)失衡，激發(fā)學生的探究欲望，借此教師再帶領學生分析概念的形成過程，就能理清概念的內(nèi)涵和外延，深入培養(yǎng)學生的深刻性思維品質。

3.概念結構從“建構”走向“重構”

數(shù)學概念不是單獨存在的，它一定和學生已有的概念有所關聯(lián)。變構學習理論認為學生不是一張白紙進入課堂學習的，他們的頭腦中有著自己的認知結構，學生學習新知時會自主地調(diào)用它們。要想新的知識成功“落戶”，必須解構已有的概念網(wǎng)絡，對新知和舊知進行結構上的重建，從而形成新的穩(wěn)固的概念結構，在解構-建構不斷交替進行的過程中促進思維品質的深刻性。

例如有限小數(shù)、無限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)的教學，這一部分在蘇教版教材中并未放在一個單獨的章節(jié)里學習，而是作為小數(shù)除法中商的近似值這一部分的閱讀素材：“你知道嗎？”中出現(xiàn)的。如果只是讓學生直接閱讀或教師講解這三種概念的異同，學生能獲得對于概念的初步認識，但這時候他們只是接觸到了概念的表象，并沒有體會概念實質的形成過程，學生的深刻性思維品質也得不到發(fā)展。因此教師首先要理清學生已有的概念結構。在此之前學生已經(jīng)學過了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)，而接觸到的小數(shù)位數(shù)都是有限的，即使遇到除不盡的情況，題目也會要求保留兩位小數(shù)，因此學生學習這部分內(nèi)容最大的障礙是理解“無限”和“循環(huán)”，要讓學生解構原來小數(shù)位數(shù)都是有限的思想，重新建構起小數(shù)的概念系統(tǒng)。

在課堂上先讓學生計算“14÷16”和“5÷3”，引發(fā)學生概念系統(tǒng)失衡，5÷3怎么也除不盡，得到的小數(shù)跟之前學習的不一樣。讓他們通過列豎式計算的過程，深刻感受每一位商是怎么來的，為什么前者的商小數(shù)部分是有限的，后者的商小數(shù)部分是無限的，尤其是觀察后者為什么會發(fā)生循環(huán)。之后再計算“14÷37”和“25÷22”，感受循環(huán)小數(shù)不同的樣式。學生經(jīng)歷了有限小數(shù)、無限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)的形成過程，對概念的內(nèi)涵有了更本質的理解。

之后要及時安排一些對比的題目，在辨析中讓他們明白區(qū)分有限小數(shù)和無限小數(shù)的本質是小數(shù)部分的位數(shù)是否有限，在辨析中更深層次地建構起無限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)之間的關系：循環(huán)小數(shù)一定是無限小數(shù)，而無限小數(shù)不一定是循環(huán)小數(shù)。至此，學生建構起了新的關于數(shù)的概念結構，這種重視概念的形成過程，辨析概念、理清其內(nèi)涵和外延的過程，也是深入培養(yǎng)深刻性思維品質的過程。

二、解題策略的變構：深入數(shù)學的內(nèi)在核心

1. 揭示策略需要煉制知識

   形成解題策略對于學生的學習水平要求較高，一個思維品質不深刻的學生，在解題過程中往往只能看到事物的表面，找不到事物的內(nèi)在聯(lián)系，就不能系統(tǒng)地展開理解活動。變構學習理論認為在知識生產(chǎn)的過程中知識的煉制非常重要，煉制是建立聯(lián)系的過程，是多個維度綜合的結果。在教學過程中，教師要善于引導學生找到知識之間的聯(lián)系，還原事物的本質和規(guī)律，在逐步揭示解題策略的過程中引發(fā)深刻性思維的產(chǎn)生。

2. 深化策略學會知識的“知識”

   授人以魚不如授人以漁，學生不僅要學會具體的知識，而且要學會如何學習知識，掌握一定的思維技能。變構學習理論認為一些知識之所以成為“惰性”知識，是因為學習者對知識沒有全面的了解，沒有形成良好的思維方式。[ii]在教學過程中，教師首先要讓學生確認已經(jīng)掌握的解題策略，然后對這些策略進行“后退一步”觀思，弄清楚這些策略可以應用的領域，或者“追根溯源”，弄清楚策略的生產(chǎn)機制，形成系統(tǒng)地分析知識的方法，為學生更好地掌握策略提供有效的途徑。在此過程中深化解題策略，促進深刻性思維品質的發(fā)展。

3. 鞏固策略及時進行再投資

   解題策略只有在被運用的時候才算真正被掌握，因此在教學過程中一個重要的環(huán)節(jié)就是將所學習的策略及時進行再投資。變構學習理論認為只有當學習者發(fā)現(xiàn)新知識的價值，并學著讓它運用起來時，這種經(jīng)歷實踐檢驗的知識才有意義。教師要精心設計練習題或操作活動，讓學生在新情境中將煉制的策略及時得到調(diào)用，成為學生永久性的知識。

   如蘇教版五年級上冊第二單元《多邊形的面積》，教師在執(zhí)教這一單元的復習課時，如果只停留在讓學生反復操練三角形、平行四邊形、梯形的面積公式的計算上，學生的思維程度始終是較淺的，教師應該帶領學生進入更深層次的學習。這時的學生已經(jīng)對三角形、平行四邊形、梯形三種圖形的形狀特點有著明確的區(qū)分，也能熟練地運用面積公式進行計算了，也自然地以為這三種圖形的面積公式各司其職、互不相干，教師的教學設計首先得打破這層障礙。

   教師可以先出示中間兩個梯形，讓學生發(fā)現(xiàn)這兩個梯形的形狀雖然不一樣，但是面積都相等，因為它們上底和下底之和都相等,高也相等。接著教師提問：如果上底接著縮小會變成什么圖形？上底接著擴大會變成什么圖形？面積有沒有發(fā)生變化？學生就會發(fā)現(xiàn)三角形、平行四邊形、梯形之間其實是有聯(lián)系的，三角形其實可以看成上底為0的梯形，平行四邊形其實可以看成上底和下底都相等的梯形，這四個圖形都可以看成上底和下底之和為6，高為5的梯形。在這個變化過程中，學生頭腦里慢慢重新建構了對三角形、平行四邊形、梯形的認識，在煉制新知的過程中提升了學生數(shù)學思維品質的深刻性。

   接著教師再帶領學生回顧教材的編排順序以及三角形、平行四邊形、梯形面積的推導過程，思考為什么要先學習平行四邊形，再學習三角形和梯形。發(fā)現(xiàn)推導平行四邊形的面積公式是將平行四邊形轉化成同底等高的長方形（長方形的面積公式早已學過），推導三角形和梯形的面積公式是將它們轉化成“同底”等高的平行四邊形，面積是其一半，這三者的面積公式是有聯(lián)系的。而得出的面積公式的背后其實蘊含著一個重要的解題策略——轉化，平行四邊形是等積轉化，三角形和梯形是擴倍轉化。在“后退一步”，對知識反過來進行觀思的過程中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在客觀規(guī)律的能力，進一步提升數(shù)學思維品質的深刻性。

   最后設置小組合作探究活動，及時地將策略進行再投資。讓學生利用一個三角形，通過剪、拼把它轉化成平行四邊形或長方形，根據(jù)轉化前后兩個圖形之間的關系，推導出三角形的面積計算公式。這樣既鞏固了轉化策略，又加深了對推導面積計算公式原理的理解。

   三、思維方式的變構：數(shù)學思想引領下的思維重構

   1.思維轉變須借助問題

   具有抽象性和邏輯性的教學內(nèi)容是學生獲得深刻性數(shù)學思維品質發(fā)展的重點，卻也是教學的難點，因為思維方式一旦在頭腦中形成，是很難被改變的。變構學習理論認為問題是引發(fā)學習者展開智力活動最主要的驅動力。教師要設置好問題情境引發(fā)學生認知沖突，讓學生感受到原有的概念系統(tǒng)遇到挑戰(zhàn)，產(chǎn)生尋求新的解決途徑的迫切需求。

   2.思維轉變須倚靠參照系

   變構學習理論認為學生在形成新概念時會自然地倚靠他們已經(jīng)掌握的概念系統(tǒng)，不僅指學生頭腦中的概念知識，還包括學生目前的思維方式和推理水平，這些都構成了學生展開理解活動必不可少的參照系。教師要在教學過程中將學習內(nèi)容與學生已有的參照系里的元素建立聯(lián)系，借助參照系整合新知，從而完成思維方式的轉變。

   3.思維轉變須建立新網(wǎng)絡

   變構學習理論認為在學生的思維方式進行轉變時，他的心智結構實際上是要進行重組的。教師要抓住這點，調(diào)動新知與舊知之間的相互作用，讓學生在解構-建構思維方式的過程中產(chǎn)生新的意義網(wǎng)絡，為以后的學習提供支撐，在此過程中感悟數(shù)學思想方法，培養(yǎng)數(shù)學思維品質的深刻性。

   比如北師大版四年級下冊第五單元《用字母表示數(shù)》，這一教學內(nèi)容有別于學生以往的學習。因為在過往的學習中，學生都是對具體數(shù)字進行計算，形成了較強的算術思維，但是“用字母表示數(shù)”涉及了更為抽象的代數(shù)思維，學生的心智運算需要從算術思維過渡到代數(shù)思維。[iii]尤其是解決問題時，學生頭腦中的算術思維根深蔕固，原有的算術思維是學習的基礎，同時也對新的學習帶來了干擾。教師在進行教學設計時要考慮到這一點，同時注意培養(yǎng)學生的符號意識，為日后學習方程打下基礎。

   教師可以先讓學生回憶運算律和字母公式，讓學生調(diào)用已有的知識，發(fā)現(xiàn)以前就已經(jīng)學過用字母表示任意數(shù)和計算公式了，這樣比用語言描述更簡潔明了，具有歸納概括性，讓學生在心理上接納字母。再出示數(shù)青蛙兒歌：

   1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿

   2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿

   讓學生接著說一說兒歌，在說的過程中理清兒歌里面蘊含的數(shù)量關系。接著教師提問引發(fā)學生思考：這樣往下說兒歌好像永遠也說不完，誰能想出辦法一句話終結這首兒歌？引發(fā)學生認知沖突：已有的數(shù)字已經(jīng)無法滿足需求了，需要尋求新的概念。有的學生可能會說：無數(shù)只青蛙無數(shù)張嘴，無數(shù)只眼睛無數(shù)條腿；a只青蛙a張嘴，c只眼睛d條腿……。教師可以引導學生提出質疑：這樣的兒歌感覺上好像差了點，沒有說清楚數(shù)量關系。在課堂上創(chuàng)設情境引導學生間產(chǎn)生思維的碰撞，最終形成“a只青蛙a張嘴，a×2只眼睛，a×4條腿”的共識，讓學生明白字母還可以表示數(shù)量關系。這樣一步步借助算術思維進行整合，然后轉化成新的概念體，最后引導學生概括出抽象的代數(shù)方法。

   接著出示問題，創(chuàng)設情境：媽媽的年齡猜不出，用字母n表示，女兒的年齡比媽媽小28歲，可以用什么來表示？（n-28），如果女兒今年4歲，媽媽今年幾歲？（32歲）。讓學生感受到字母還可以表示未知數(shù)，而這樣通過式子運算推理求得其值的數(shù)學方法，是數(shù)學中特有的一種思想方法——建模思想。這樣通過創(chuàng)設情境，引發(fā)學生認知沖突，動搖已有的知識概念，自主地進行解構--建構新的思維方式，讓學生體驗從具體到抽象，特殊到一般的歸納變化過程，能培養(yǎng)學生抽象的邏輯思維和善于概括的能力，促進學生數(shù)學思維品質的深刻性。

   學生學習數(shù)學的一個重要的目標就是獲得思維品質的發(fā)展，而深刻性是判斷學生數(shù)學思維品質的一個重要指標。在教學過程中教師要善于抓住知識的變構點，帶領學生深入學習，從而促進學生深刻性思維品質的發(fā)展。學習是一個極其復雜的過程，教學過程也不能只按照變構學習理論來進行一刀切，正如焦爾當說的：我們的教學不能恪守一種方式，必須有不同的、多樣的策略，單獨用某一理論來解釋一切恐怕是徒勞的。[iv]