“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中數(shù)學(xué)多元表征與教學(xué)建議――以蘇教版、人教版教材為例
啟東鄉(xiāng)村骨干教師培育站 徐佳穎
【摘要】“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)以及進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算有著前提性的影響作用。數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)對(duì)象具有至少兩種或兩種以上本質(zhì)不同的表征形式。通過把蘇教版、人教版中“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中數(shù)學(xué)多元表征出現(xiàn)的時(shí)間、頻率和方式等方面進(jìn)行比較，嘗試分析如何更好地結(jié)合數(shù)學(xué)多元表征進(jìn)行整數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)。
【關(guān)鍵詞】整數(shù)的認(rèn)識(shí)；多元表征；教學(xué)建議
我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。形數(shù)結(jié)合百般好，隔離分家萬事非” 【1】華羅庚的這句話深刻地揭示了“數(shù)”與“形”表征之間的密不可分的聯(lián)系。在實(shí)際教學(xué)中，眾多教師已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”能有效地解決一些數(shù)學(xué)問題，其實(shí)數(shù)形結(jié)合只是多元表征關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)換的一種形式。數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)對(duì)象具有至少兩種或兩種以上本質(zhì)不同的表征形式。【2】包含兩層含義：一是不同的表征形式包括敘述性表征（言語化表征）和描繪性表征（視覺化表征）；二是在表現(xiàn)同一數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)應(yīng)該至少用到兩種方法。所謂描繪性表征（視覺化表征），是指用模型、圖形、圖像來表示一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。在小學(xué)學(xué)習(xí)中用描繪性表征來解決問題是非常常見的。例如，在蘇教版三上的教材中《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》中比較幾個(gè)幾分之一的分?jǐn)?shù)的大?。?/span>
圖1：幾分之一比較大小的圓形圖和直線圖
在上面兩幅圖中都是比較二分之一、四分之一和八分之一的大小，這兩種表征方式都是圖形表征，都是用來幫助學(xué)生理解：“一個(gè)圖形，無論是圓還是直線條，被平均分的份數(shù)越多，其中的每一份表示的分?jǐn)?shù)就越小”這個(gè)信息的。敘述性表征是指用符號(hào)來表示被表征對(duì)象。很明顯，敘述性表征的概括性和抽象性更強(qiáng)。敘述性表征比較適合推理，用于傳遞一些抽象經(jīng)驗(yàn)和信息。口語、書面語、數(shù)學(xué)符號(hào)都屬于敘述性表征。
一、兩種教材版本下的“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的數(shù)學(xué)多元表征比較
教材是教學(xué)活動(dòng)的憑借，是課程標(biāo)準(zhǔn)的表現(xiàn)。由于我們國(guó)家地域遼闊，各個(gè)地方的政治、經(jīng)濟(jì)、文化情況不同，所以我國(guó)基礎(chǔ)教育出現(xiàn)了“一綱多本”的格局。依據(jù)《全日制義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》編寫的小學(xué)數(shù)學(xué)教材一共有6種版本，其中由人民教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材（以下簡(jiǎn)稱人教版）在全國(guó)地區(qū)內(nèi)使用廣泛，而筆者是江蘇地區(qū)的教師，所以本研究將結(jié)合江蘇教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材（簡(jiǎn)稱蘇教版）以及人教版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材談?wù)剶?shù)學(xué)多元表征在“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的體現(xiàn)。
（一）蘇教版、人教版教材中的數(shù)學(xué)多元表征形式
1.蘇教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的數(shù)學(xué)多元表征，如表1：
表1：蘇教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的數(shù)學(xué)多元表征
由表1我們可以看出蘇教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”分為一年級(jí)上、一年級(jí)下、二年級(jí)下和四年級(jí)下進(jìn)行學(xué)習(xí)。在蘇教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中出現(xiàn)了以下幾種數(shù)學(xué)多元表征：生活情境、點(diǎn)子圖、小棒、直尺、計(jì)數(shù)器、數(shù)軸、小方塊、算盤、數(shù)位順序表等。
人教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的數(shù)學(xué)多元表征，如表2：
表2：人教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的數(shù)學(xué)多元表征由表2我們可以看出人教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”分為一年級(jí)上、一年級(jí)下、二年級(jí)下和四年級(jí)上來進(jìn)行學(xué)習(xí)。在人教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中出現(xiàn)了以下幾種數(shù)學(xué)多元表征：生活情境、點(diǎn)子圖、小棒、直尺、計(jì)數(shù)器、數(shù)軸、小方塊、算盤、數(shù)位順序表等。
比較蘇教版和人教版“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)多元表征，我們可以看出兩個(gè)版本的教材中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)多元表征形式種類差不多，但是也看得出人教版中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)多元表征更顯豐富。這種豐富性體現(xiàn)在：一是人教版中出現(xiàn)的表征形式更為多樣，比如在二年級(jí)下認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)的時(shí)候出現(xiàn)了結(jié)合點(diǎn)子圖的數(shù)軸，還出現(xiàn)了用方格紙來圖出千以內(nèi)的數(shù)；二是在認(rèn)數(shù)的某一個(gè)階段中，人教版中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)多元表征的種類的數(shù)量多于蘇教版教材中的數(shù)量。
（二）蘇教版、人教版教材中表征呈現(xiàn)的頻率
比較不同數(shù)學(xué)多元表征在不同版本教材中出現(xiàn)的頻率可以看出不同教材編排的側(cè)重點(diǎn)，如表3：
表3：不同數(shù)學(xué)表征呈現(xiàn)的頻率從表3我們看出兩個(gè)版本教材呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)多元表征中我們可以觀察出兩點(diǎn)：第一，人教版中點(diǎn)子圖和小方塊出現(xiàn)的次數(shù)明顯要多于蘇教版；第二，蘇教版中算盤和數(shù)軸出現(xiàn)的數(shù)量明顯要多于人教版中出現(xiàn)的次數(shù)。
（三）蘇教版、人教版教材中的表征呈現(xiàn)的時(shí)間和方式
相同的數(shù)學(xué)多元表征出現(xiàn)的時(shí)間、方式不同帶來的教學(xué)效果也會(huì)不一樣，接下來將探討不同數(shù)學(xué)表征不同呈現(xiàn)的時(shí)間和方式帶來的不同的教學(xué)效果。
1.生活情境
一年級(jí)學(xué)生的思維處于形象思維階段，他們認(rèn)數(shù)的起點(diǎn)要從生活中的素材中來。蘇教版教材和人教版教材在安排認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)的時(shí)候都選取了生活中的場(chǎng)景。蘇教版教材是選取了公園的某一場(chǎng)景，人教版是選取了校園一景。
2.點(diǎn)子圖
蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在一年級(jí)上教學(xué)第一課數(shù)一數(shù)的時(shí)候選取了公園的一景，通過讓學(xué)生數(shù)一數(shù)，把物抽象成點(diǎn)，1個(gè)點(diǎn)就表示一個(gè)物體，有幾個(gè)物體就畫幾個(gè)點(diǎn)，體現(xiàn)出物與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這里點(diǎn)子圖是作為正式的例題出現(xiàn)的。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第一次出現(xiàn)點(diǎn)子圖是在第一單元準(zhǔn)備課之后的練習(xí)課中作為練習(xí)題出現(xiàn)的，是把物體的數(shù)量與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子數(shù)量相連，也是體現(xiàn)物 點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。
人教版教材在認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)組成的時(shí)候作為例題出現(xiàn)了點(diǎn)子圖，教材讓學(xué)生數(shù)一數(shù)例題中有多少個(gè)圓點(diǎn)，通過一十一十地?cái)?shù)，一百一百地?cái)?shù)，數(shù)出235個(gè)圓點(diǎn),在數(shù)圓點(diǎn)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，知道一百是多少，為學(xué)生以后感受更大的數(shù)作鋪墊。
3.小棒
蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第一次出現(xiàn)小棒是在教完數(shù)字10以后的練習(xí)題中，教材讓學(xué)生動(dòng)手操作數(shù)出10根小棒，捆成一捆。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第一次出現(xiàn)小棒是在認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)在例題中出現(xiàn)的，通過擺放小棒，把小棒擺成三角形、正方形和五邊形。
在認(rèn)識(shí)11—20各數(shù)一課中，蘇教版教材和人教版教材都選取了小棒作為教學(xué)載體，其實(shí)這里的小棒承載著一個(gè)更重要的教學(xué)任務(wù)，就是要讓學(xué)生知道：“小棒滿了10根就要捆成一捆，10個(gè)一是1個(gè)十”，學(xué)生初次知道“滿十進(jìn)一”這個(gè)計(jì)數(shù)原理。同時(shí)，小棒對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的組成也有很好的直觀示范作用。
4.計(jì)數(shù)器
蘇教版教材中第一次出現(xiàn)計(jì)數(shù)器（無數(shù)位）是在認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)的練習(xí)題中，這里是體現(xiàn)珠和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。人教版教材中第一次出現(xiàn)計(jì)數(shù)器（無數(shù)位）是在認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)的例題中。
有數(shù)位的計(jì)數(shù)器作為正式的教學(xué)內(nèi)容出現(xiàn)在認(rèn)識(shí)11-20各數(shù)。計(jì)數(shù)器在表征數(shù)的概念時(shí)有著不可替代的作用。用一捆小棒來表示1個(gè)十的時(shí)候，這里的“捆”是具體的、是量化的10根，而計(jì)數(shù)器十位上的1顆珠子，這里的“1”不是具體的“10”，是抽象的“10”，是由位值決定的“10”。
5.算盤
在蘇教版和人教版教材中算盤作為正式教學(xué)內(nèi)容是在認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)中。不同的是蘇教版在萬以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)中算盤是跟隨例題出現(xiàn)的，人教版在教學(xué)萬以內(nèi)的數(shù)時(shí)還是出示了小方塊和計(jì)數(shù)器，而算盤是在練習(xí)課中出現(xiàn)的。
6.數(shù)位順序表
蘇教版教材和人教版教材第一次出示數(shù)位順序表（到萬位）是在認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)中。數(shù)位順序表是學(xué)生在學(xué)完多位數(shù)時(shí)從計(jì)數(shù)器上抽象出來的更為直觀簡(jiǎn)潔的示數(shù)的工具。
雖然兩版教材都是在學(xué)習(xí)億以內(nèi)的數(shù)之后出示數(shù)位順序表，但不同的是蘇教版教材數(shù)位順序表出示到千萬位，而人教版教材數(shù)位順序表出示到億位。
7.小方塊
人教版和蘇教版教材中第一次出現(xiàn)小方塊是在認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)的練習(xí)題中。正式作為教學(xué)內(nèi)容例題出現(xiàn)是在認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)中。
在認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)中，蘇教版和人教版教材也都選取了小方塊作為教學(xué)內(nèi)容，就是在編排上順序不太一樣。人教版教材是先出示小方塊再出示計(jì)數(shù)器的；而蘇教版教材是先出示算盤，小方塊在后面出示的。
8.數(shù)軸
蘇教版教材第一次出示數(shù)軸是在教完0-5的大小比較之后的練習(xí)課中，人教版教材第一次出示數(shù)軸是在教完10的分與合的練習(xí)課中。數(shù)軸上的數(shù)比直尺上的數(shù)更為抽象，人教版教材在認(rèn)識(shí)數(shù)軸之前讓學(xué)生感受了數(shù)在直尺上的排列順序。蘇教版教材在大數(shù)的比較中多次運(yùn)用數(shù)軸比較幾個(gè)大數(shù)大小和近似數(shù)的改寫；人教版教材在大數(shù)那部分幾乎就不涉及數(shù)軸了。
綜上所述，我們可以看到在小學(xué)階段整數(shù)的認(rèn)識(shí)中運(yùn)用了多種數(shù)學(xué)多元表征來進(jìn)行教學(xué)。教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用數(shù)學(xué)多元表征時(shí)應(yīng)注意“循序漸進(jìn)”和“得時(shí)不怠”原則。
二、基于多元表征的“整數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)建議
1.小棒的運(yùn)用
在教學(xué)11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)一課中，學(xué)生第一次接觸十進(jìn)制原理。可以先簡(jiǎn)單地還原下十進(jìn)制產(chǎn)生的背景，學(xué)生在數(shù)大于10的數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)一雙手已經(jīng)不方便數(shù)數(shù)了，進(jìn)而產(chǎn)生了引入十進(jìn)制的需要?！?span lang="EN-US">10個(gè)一是1個(gè)十” 是一個(gè)比較抽象的原理，但是借助小棒的話就比較具象了，學(xué)生也比較容易理解。學(xué)生在數(shù)十幾的數(shù)時(shí)，也可以先通過一捆小棒和幾根小棒來表示。
2.計(jì)數(shù)器的運(yùn)用
“計(jì)數(shù)器”這種表征形式相對(duì)于“小棒”來說有著更特殊的表征特點(diǎn)：第一，計(jì)數(shù)器的表征方式比小棒的表征方式更為抽象；第二，計(jì)數(shù)器對(duì)位值制、數(shù)級(jí)、多位數(shù)讀寫、豎式計(jì)算有著比較好的模型作用和價(jià)值，也就是對(duì)位值制、十進(jìn)制的表征抽象程度更高。
隨著100以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)，用小棒來表示數(shù)可能也已經(jīng)沒那么直觀方便了，這時(shí)候就需要引入計(jì)數(shù)器的教學(xué)。隨著一百的學(xué)習(xí)，學(xué)生就能在計(jì)數(shù)器上有順序地認(rèn)識(shí)個(gè)位、十位和百位。計(jì)數(shù)器在教材中更多地出現(xiàn)在多位數(shù)的讀寫當(dāng)中，教師在教學(xué)多位數(shù)的組成、讀寫中應(yīng)該充分利用計(jì)數(shù)器這個(gè)數(shù)學(xué)表征。
3.小方塊的運(yùn)用
隨著千以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)的數(shù)越來越大，這時(shí)候除了要學(xué)習(xí)數(shù)的讀寫之外，還要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)大數(shù)的數(shù)感。這一節(jié)課是一個(gè)在整數(shù)的內(nèi)容領(lǐng)域比較經(jīng)典的教學(xué)內(nèi)容。一方面，千位是第一級(jí)（個(gè)級(jí)）的最后一個(gè)數(shù)位，這樣學(xué)生掌握了千以內(nèi)的數(shù)的計(jì)數(shù)單位、數(shù)位順序，以及相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率；另外一方面，這也是為四年級(jí)認(rèn)識(shí)多位數(shù)打下基礎(chǔ)。小方塊對(duì)個(gè)、十、百、千這樣的計(jì)數(shù)單位直觀性很強(qiáng)，在用小方塊表征個(gè)、十、百、千的過程中，學(xué)生對(duì)相鄰數(shù)位之間的關(guān)系有了更為感性的認(rèn)識(shí)。
在教學(xué)千以內(nèi)的數(shù)一課時(shí)可以出示一堆幾百多塊的小方塊，然后讓學(xué)生數(shù)出有多少塊小方塊，這時(shí)候?qū)W生就有了有順序地?cái)?shù)出小方塊數(shù)量的需要，在數(shù)小方塊的過程中學(xué)生可以重新認(rèn)識(shí)到“1塊小方塊是1個(gè)一，一排小方塊是1個(gè)十，一板小方塊是一個(gè)百”，而在認(rèn)識(shí)了一千以后，可以用一整個(gè)方塊來表示一個(gè)千。用小方塊來教學(xué)千以內(nèi)的數(shù)時(shí)能讓學(xué)生對(duì)數(shù)有一個(gè)點(diǎn)、線、面到體的完整的認(rèn)識(shí)。
4.算盤的運(yùn)用
在計(jì)數(shù)器上認(rèn)數(shù)雖然也比較直觀，但在算盤上撥珠認(rèn)數(shù)效果更好。算盤上的數(shù)珠分為上珠和下珠，一顆上珠表示5，一顆下珠表示1。當(dāng)在計(jì)數(shù)器上數(shù)的珠越來越多的時(shí)候，學(xué)生感到在計(jì)數(shù)器上數(shù)珠很繁瑣，而算盤上一顆上珠表示5，省去了數(shù)珠的不便。算盤最大的特點(diǎn)是：“檔位清楚，示數(shù)直觀”，學(xué)生通過動(dòng)手撥珠，建立“物——珠——數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
到了大數(shù)的認(rèn)識(shí)以后，數(shù)的抽象程度越來越高。這時(shí)候除了要通過小方塊和點(diǎn)子圖來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感之外，還要用算盤來表示大數(shù)。算盤作為我國(guó)古代祖先發(fā)明創(chuàng)造的一種計(jì)算工具，算盤還可以承擔(dān)一定的運(yùn)算任務(wù)。
5.數(shù)軸的運(yùn)用
數(shù)軸作為數(shù)的一種表征形式也有著它獨(dú)特的作用和意義。首先，數(shù)軸上的數(shù)可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的的排列是有一定方向的，形成對(duì)數(shù)序的淺顯的感性認(rèn)識(shí)。隨著學(xué)生認(rèn)識(shí)更大的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)等，使學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，這樣就形成了數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
其次，數(shù)軸使數(shù)的大小比較更加直接。數(shù)軸上從左往右各個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，形成了由小到大的數(shù)列。在數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。而且“少一些”、“多得多”這些數(shù)的感知和估計(jì)也能被學(xué)生給直觀地感受到，低年級(jí)學(xué)生可以先從身邊的直尺出發(fā)一步步認(rèn)識(shí)數(shù)軸。數(shù)軸的學(xué)習(xí)應(yīng)該貫穿整個(gè)小學(xué)階段整數(shù)的認(rèn)識(shí)。